Найдите $\sin\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{2}$

Для решения этих задач нам понадобятся основные тригонометрические тождества: 1. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ 2. Определение тангенса: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ### а) Найдите $\sin\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ 1. Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\sin\alpha$: $$ \sin^2\alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2\alpha + \frac{1}{4} = 1 $$ $$ \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{4} $$ $$ \sin^2\alpha = \frac{3}{4} $$ $$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} $$ $$ \sin\alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $$ **Допущение:** Поскольку не указан квадрант, в котором находится угол $\alpha$, синус может быть как положительным, так и отрицательным. 2. Найдем $\text{tg}\alpha$: $$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3} $$ **Ответ:** $\sin\alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg}\alpha = \pm\sqrt{3}$ ### б) Найдите $\cos\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 1. Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\cos\alpha$: $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 $$ $$ \frac{3}{4} + \cos^2\alpha = 1 $$ $$ \cos^2\alpha = 1 - \frac{3}{4} $$ $$ \cos^2\alpha = \frac{1}{4} $$ $$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} $$ $$ \cos\alpha = \pm\frac{1}{2} $$ **Допущение:** Поскольку не указан квадрант, в котором находится угол $\alpha$, косинус может быть как положительным, так и отрицательным. 2. Найдем $\text{tg}\alpha$: $$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pm\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3} $$ **Ответ:** $\cos\alpha = \pm\frac{1}{2}$, $\text{tg}\alpha = \pm\sqrt{3}$ ### в) Найдите $\cos\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\sin\alpha = -\frac{1}{4}$ 1. Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\cos\alpha$: $$ \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 $$ $$ \frac{1}{16} + \cos^2\alpha = 1 $$ $$ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{16} $$ $$ \cos^2\alpha = \frac{15}{16} $$ $$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} $$ $$ \cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} $$ **Допущение:** Поскольку не указан квадрант, в котором находится угол $\alpha$, косинус может быть как положительным, так и отрицательным. 2. Найдем $\text{tg}\alpha$: $$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{1}{4}}{\pm\frac{\sqrt{15}}{4}} = \mp\frac{1}{\sqrt{15}} = \mp\frac{\sqrt{15}}{15} $$ **Ответ:** $\cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$, $\text{tg}\alpha = \mp\frac{\sqrt{15}}{15}$