Построй график функции y = x² - 5x + 6. Найди с помощью графика: а) значение y при x = 1,5

Чтобы построить график функции $y = x^2 - 5x + 6$, сначала найдём её вершину и нули. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Найдём координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5$$ $$y_в = (2,5)^2 - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25$$ Вершина параболы находится в точке $(2,5; -0,25)$. Найдём нули функции (точки пересечения с осью $Ox$, когда $y=0$): $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ По теореме Виета или через дискриминант найдём корни: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Нули функции: $x=2$ и $x=3$. Построим график функции, используя эти точки. :::div .chart-container @chart-1::: Теперь ответим на вопросы с помощью графика: а) Значение $y$ при $x = 1,5$: По графику видно, что при $x=1,5$ значение $y$ будет: $$y = (1,5)^2 - 5(1,5) + 6 = 2,25 - 7,5 + 6 = 0,75$$ **Ответ: $y = 0,75$** б) Значения $x$, при которых $y = 5$: Чтобы найти эти значения, приравняем функцию к 5: $$x^2 - 5x + 6 = 5$$ $$x^2 - 5x + 1 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$$ $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$$ $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \approx \frac{5 - 4,58}{2} \approx \frac{0,42}{2} \approx 0,21$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \approx \frac{5 + 4,58}{2} \approx \frac{9,58}{2} \approx 4,79$$ По графику это точки, где горизонтальная линия $y=5$ пересекает параболу. **Ответ: $x \approx 0,21$ и $x \approx 4,79$** в) Нули функции и промежутки знакопостоянства: Нули функции, как мы уже нашли: $x=2$ и $x=3$. Промежутки знакопостоянства: - $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$ (график выше оси $Ox$) - $y < 0$ при $x \in (2; 3)$ (график ниже оси $Ox$) **Ответ: Нули функции: $x=2$, $x=3$. $y>0$ на $(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$, $y<0$ на $(2; 3)$** г) Промежуток, на котором функция возрастает: Функция убывает до вершины и возрастает после неё. Вершина находится при $x=2,5$. Значит, функция возрастает на промежутке $[2,5; +\infty)$. **Ответ: Функция возрастает на $[2,5; +\infty)$** д) Множество значений функции: Наименьшее значение функции — это $y$-координата вершины, то есть $-0,25$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция принимает все значения от $-0,25$ до $+\infty$. **Ответ: $E(y) = [-0,25; +\infty)$**