Реши задачи по математике.

1. 40 % населения интересуются футболом. Среди них 70 % смотрели финальный матч. Чтобы найти, сколько процентов горожан смотрели финальный матч, нужно умножить эти проценты: $$40\% \cdot 70\% = 0.4 \cdot 0.7 = 0.28 = 28\%$$ **Ответ: 28** 2. Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его: $$\frac{a^{-2}}{\sqrt{a^7 \cdot a^{-4}}} = \frac{a^{-2}}{\sqrt{a^{7-4}}} = \frac{a^{-2}}{\sqrt{a^3}} = \frac{a^{-2}}{a^{\frac{3}{2}}}$$ Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $$a^{-2 - \frac{3}{2}} = a^{-\frac{4}{2} - \frac{3}{2}} = a^{-\frac{7}{2}}$$ Теперь подставим $a = 81$: $$81^{-\frac{7}{2}} = (3^4)^{-\frac{7}{2}} = 3^{4 \cdot (-\frac{7}{2})} = 3^{-14} = \frac{1}{3^{14}}$$ **Ответ: \frac{1}{3^{14}}** ИЛИ Упростим выражение: $$\frac{a^{-\frac{8}{3}} \cdot a^5}{a^2} = \frac{a^{-\frac{8}{3} + 5}}{a^2} = \frac{a^{-\frac{8}{3} + \frac{15}{3}}}{a^2} = \frac{a^{\frac{7}{3}}}{a^2}$$ Вычитаем показатели степеней: $$a^{\frac{7}{3} - 2} = a^{\frac{7}{3} - \frac{6}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$$ Подставим $a = 64$: $$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$$ **Ответ: 4** 3. Вычислим значение выражения: $$\cos(-60^\circ) + \sin^2 45^\circ$$ Вспомним, что косинус — чётная функция, поэтому $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Синус $45^\circ$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, значит $\sin^2 45^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Тогда: $$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ **Ответ: 1** 4. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: $16, 8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \dots$ Первый член прогрессии $b_1 = 16$. Найдем знаменатель прогрессии $q$: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$ Так как $|q| < 1$, прогрессия действительно убывающая. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S = \frac{b_1}{1 - q}$$ Подставим значения: $$S = \frac{16}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot 2 = 32$$ **Ответ: 32** 5. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, это значит, что треугольник равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть $\angle A = \angle C$. Внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$. Сумма внешнего и внутреннего угла при одной вершине равна $180^\circ$. Значит, внутренний угол $B$ (обозначим его как $\angle B_{внутр}$) равен: $$\angle B_{внутр} = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$ Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $$\angle A + \angle B_{внутр} + \angle C = 180^\circ$$ Так как $\angle A = \angle C$, можно записать: $$2 \cdot \angle C + \angle B_{внутр} = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle C + 42^\circ = 180^\circ$$ $$2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ$$ $$2 \cdot \angle C = 138^\circ$$ $$\angle C = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$$ **Ответ: 69** 6. В коробке лежат 15 чёрных маркеров и 5 красных маркеров. Общее количество маркеров в коробке: $$15 + 5 = 20$$ Количество красных маркеров: 5. Вероятность того, что достанут красный маркер, равна отношению количества красных маркеров к общему количеству маркеров: $$P(\text{красный}) = \frac{\text{количество красных маркеров}}{\text{общее количество маркеров}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 0.25$$ **Ответ: 0.25** 7. Всего в классе 25 учащихся. Каждый посещает хотя бы один из двух кружков. 10 человек занимаются в химическом кружке. 18 человек занимаются в биологическом кружке. Пусть $X$ — множество учащихся, посещающих химический кружок, $B$ — множество учащихся, посещающих биологический кружок. По условию, $|X \cup B| = 25$ (так как каждый посещает хотя бы один кружок). Также известно: $|X| = 10$ и $|B| = 18$. Мы ищем количество учащихся, посещающих оба кружка, то есть $|X \cap B|$. Используем формулу включений-исключений: $$|X \cup B| = |X| + |B| - |X \cap B|$$ Подставим известные значения: $$25 = 10 + 18 - |X \cap B|$$ $$25 = 28 - |X \cap B|$$ $$|X \cap B| = 28 - 25$$ $$|X \cap B| = 3$$ Значит, 3 учащихся посещают оба кружка. **Ответ: 3**