Найди координаты вершины параболы: a) g(x)=x² + 4x + 2

Оба задания про параболы, сейчас помогу. **1.** Найдём координаты вершин парабол. а) Дана функция $g(x) = x^2 + 4x + 2$. Чтобы найти вершину параболы, заданной уравнением $g(x) = ax^2 + bx + c$, можно использовать формулу для x-координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a = 1$, $b = 4$, $c = 2$. Тогда $x_в = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Чтобы найти $y$-координату вершины, подставим найденное значение $x_в$ в исходное уравнение: $g(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$. Таким образом, координаты вершины параболы для функции $g(x) = x^2 + 4x + 2$ будут $(-2; -2)$. б) Дана функция $g(x) = -x^2 - 6x + 3$. Здесь $a = -1$, $b = -6$, $c = 3$. $x_в = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-6}{-2} = -3$. $g(-3) = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) + 3 = -9 + 18 + 3 = 12$. Координаты вершины параболы для функции $g(x) = -x^2 - 6x + 3$ будут $(-3; 12)$. в) Дана функция $g(x) = 4x^2 - 8x - 1$. Здесь $a = 4$, $b = -8$, $c = -1$. $x_в = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = -\frac{-8}{8} = 1$. $g(1) = 4 \cdot (1)^2 - 8 \cdot (1) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$. Координаты вершины параболы для функции $g(x) = 4x^2 - 8x - 1$ будут $(1; -5)$. **2.** Используя результаты вычислений в задании 1 а), построим график функции $g(x) = x^2 + 4x + 2$. Найдем по графику: а) Нули функции, промежутки, в которых $g(x) < 0$ и $g(x) > 0$; б) Промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение. Для начала построим график функции $g(x) = x^2 + 4x + 2$: 1. Вершина параболы: $(-2, -2)$ (найдено в предыдущем задании). 2. Ось симметрии: $x = -2$. 3. Найдем нули функции (точки пересечения с осью $x$): $x^2 + 4x + 2 = 0$. Используем квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$. Итак, $x_1 = -2 - \sqrt{2} \approx -3.41$ и $x_2 = -2 + \sqrt{2} \approx -0.59$. 4. Теперь можно схематично нарисовать параболу. Она идет ветвями вверх (т.к. $a > 0$). :::div .chart-container @chart-1::: Теперь найдем нужные значения по графику: а) Нули функции: $x_1 \approx -3.41$ и $x_2 \approx -0.59$. Промежутки, где $g(x) < 0$: $(-3.41; -0.59)$. Промежутки, где $g(x) > 0$: $(-\infty; -3.41)$ и $(-0.59; +\infty)$. б) Промежутки убывания: $(-\infty; -2]$. Промежутки возрастания: $[-2; +\infty)$. Наименьшее значение функции: $g(-2) = -2$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!