Реши задачи 14.10 - 14.14 по геометрии.

14.10. Двугранный угол между прямоугольниками $ABCD$ и $BCEF$ равен углу между перпендикулярами к общей стороне $BC$, проведенными в каждой из плоскостей. Так как $AF$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то $\angle ABF = 90^\circ$. Из прямоугольного треугольника $ABF$ найдем $AB$: $$AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{15 + 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. Тогда тангенс угла между плоскостями равен: $$tg(\angle FBA) = \frac{AF}{AB} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Таким образом, двугранный угол равен $arctg(\frac{\sqrt{3}}{2})$. **Ответ:** $arctg(\frac{\sqrt{3}}{2})$ 14.11. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, значит, $BD$ перпендикулярна $BC$ и $BA$. Рассмотрим треугольник $BCD$: он прямоугольный, так как $\angle ACD = 90^\circ$. Тогда $BD = \sqrt{CD^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$. Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ - это угол $CDA$. $tg \angle CDA = \frac{AC}{CD}$. $AC = \sqrt{AD^2 - CD^2}$. **Допущение:** $AD=12$ $\tg \angle CDA = \frac{12}{12} = 1$, следовательно угол равен $45^\circ$ **Ответ:** $45^\circ$ 14.12. Второй двугранный угол равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. **Ответ:** $50^\circ$ 14.13. 1) $\varphi = 90^\circ$ - одна плоскость; 2) $\varphi = 0^\circ$ - одна плоскость; 3) $0^\circ < \varphi < 90^\circ$ - бесконечно много плоскостей. 14.14. Так как $MB$ перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника $ABC$, то она перпендикулярна каждой стороне этого треугольника. $MA = MC = MB$. Угол между плоскостями $ABM$ и $CBM$ - это угол $ABC$, так как $ABC$ - равносторонний, то $\angle ABC=60^\circ$ **Ответ:** $60^\circ$