Определи, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 13 см и 12 см. Найди периметр треугольника, если одна сторона треугольника на 2 см больше другой, угол между ними равен 120°, а третья сторона равна 7 см. Найди радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол B равен 45°, BC=10√2 см, AC=14√2 см.

3. Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), нужно сравнить квадрат самой большой стороны с суммой квадратов двух других сторон: * Если квадрат самой большой стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник остроугольный. * Если квадрат самой большой стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. * Если квадрат самой большой стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник тупоугольный. Для сторон 6 см, 12 см и 13 см: * $6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$ * $13^2 = 169$ Так как $169 < 180$, то треугольник остроугольный. **Ответ: остроугольный** 4. **Допущение:** Одна из сторон больше другой на 2 см. Обозначим меньшую сторону за $x$, тогда другая сторона будет $x + 2$. Угол между этими сторонами равен $120^\circ$, а третья сторона равна 7 см. Чтобы найти периметр, нужно знать все стороны треугольника. Используем теорему косинусов, чтобы найти $x$: $$7^2 = x^2 + (x + 2)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 2) \cdot \cos(120^\circ)$$ $$49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 - 2x(x + 2) \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$$ $$0 = 3x^2 + 6x - 45$$ $$0 = x^2 + 2x - 15$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, то $x = 3$ см. Тогда другая сторона равна $3 + 2 = 5$ см. Периметр треугольника равен сумме всех сторон: $P = 3 + 5 + 7 = 15$ см. **Ответ: 15 см** 5. Чтобы найти радиус описанной окружности около треугольника, можно использовать формулу: $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}$ В данном случае, у нас есть угол $B = 45^\circ$ и стороны $BC = a = 10\sqrt{2}$ см и $AC = b = 14\sqrt{2}$ см. Используем формулу с углом B и стороной b: $R = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{14\sqrt{2}}{2 \sin 45^\circ} = \frac{14\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 14$ **Ответ: 14 см**