Реши задачи по геометрии из варианта 1: про диагонали прямоугольника, прямоугольную трапецию, параллелограмм, равнобокую трапецию и высоту ромба.

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, $\angle ABO = 25^\circ$. Найдите угол $AOD$: $\angle AOD = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - 25^\circ) = 180^\circ - 2 \cdot 65^\circ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. **Ответ: $\angle AOD = 50^\circ$** 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен $45^\circ$. В прямоугольной трапеции два угла по $90^\circ$. Если один из оставшихся углов $45^\circ$, то четвертый угол равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. **Ответ: $90^\circ$, $90^\circ$, $45^\circ$, $135^\circ$** 3. Стороны параллелограмма относятся как $1:2$, а его периметр равен 42 см. Найдите стороны параллелограмма. Пусть одна часть $x$ см, тогда стороны параллелограмма $x$ см и $2x$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + 2x) = 6x$ см. Зная, что периметр равен 42 см, составим уравнение: $6x = 42$ $x = 7$ Тогда стороны параллелограмма равны 7 см и 14 см. **Ответ: 7 см, 14 см** 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна $84^\circ$. Найдите углы трапеции. В равнобокой трапеции углы при каждом из оснований равны. Значит, каждый из углов при большем основании равен $84^\circ : 2 = 42^\circ$. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, углы при меньшем основании равны $180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$. **Ответ: $42^\circ$, $42^\circ$, $138^\circ$, $138^\circ$** 5. Высота $BM$, проведенная из вершины угла ромба $ABCD$ образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$, $AM = 6$ см. Найдите длину диагонали $BD$ ромба, если точка $M$ лежит на стороне $AD$. $\bigtriangleup ABM$: $\angle AMB = 90^\circ$, $\angle ABM = 30^\circ$, $AM = 6$ см. Тогда $AB = 2AM = 12$ см (катет, лежащий против угла $30^\circ$). $AD = AB = 12$ см (стороны ромба). $MD = AD - AM = 12 - 6 = 6$ см. $\angle A = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$. $\angle D = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. $\bigtriangleup BMD$: $\angle D = 60^\circ$, $MD = 6$ см, $BD$ - ? По теореме косинусов: $BD^2 = BM^2 + MD^2 - 2 \cdot BM \cdot MD \cdot cosD$ $BM = AB \cdot cos30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ $BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 \cdot cos60^\circ = 108 + 36 - 36\sqrt{3} = 144 - 36\sqrt{3}$ $BD = \sqrt{144 - 36\sqrt{3}} = \sqrt{36(4 - \sqrt{3})} = 6\sqrt{4 - \sqrt{3}}$ **Ответ: $6\sqrt{4 - \sqrt{3}}$ см**