Найди угол ADC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной AB углы, равные 30° и 50° соответственно.

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Пусть $\angle BAC = 30^\circ$ и $\angle ABC = 50^\circ$. Тогда $\angle BCA = \angle BAC = 30^\circ$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный). Угол $\angle ADC = \angle ABC + \angle BCA = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$. **Ответ: 80°** 2. Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$, тогда другая равна $3x$. Периметр прямоугольника равен $2(x + 3x) = 6,4$ см. Значит, $2(4x) = 6,4$, откуда $8x = 6,4$, и $x = 0,8$ см. Тогда другая сторона равна $3 \cdot 0,8 = 2,4$ см. **Ответ: 0,8 см и 2,4 см** 3. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два равных отрезка, так как острый угол ромба равен $60^\circ$. Значит, высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, каждый из отрезков равен половине стороны ромба, то есть $28 / 2 = 14$. **Ответ: 14** 4. Пусть $\angle BAC = 30^\circ$ и $\angle CAD = 45^\circ$. Тогда $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$. В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, больший угол параллелограмма равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. **Ответ: 105°** 5. Пусть биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $14^\circ$. Тогда половина угла $A$ равна $14^\circ$, следовательно, весь угол $A$ равен $2 \cdot 14^\circ = 28^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, острый угол параллелограмма равен $28^\circ$. **Ответ: 28°** 6. **Допущение:** $BD$ — это гипотенуза прямоугольного треугольника $ABC$ (так как $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$). O — точка пересечения диагоналей прямоугольника, то есть середина каждой диагонали. Значит, $AO = BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5$. Периметр треугольника $AOB$ равен $AB + AO + BO = 9 + 7,5 + 7,5 = 24$. **Ответ: 24** 7. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. Пусть сумма двух углов равна $220^\circ$. Это могут быть либо два угла при одном основании, либо два угла при разных основаниях. Так как углы при одном основании равны, то каждый из них равен $220^\circ / 2 = 110^\circ$. Но это невозможно, так как в трапеции углы при основании должны быть меньше $180^\circ$. Значит, $220^\circ$ — это сумма двух углов при разных основаниях. Тогда два других угла в сумме составляют $360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$. Поскольку трапеция равнобедренная, эти два угла тоже равны, и каждый из них равен $140^\circ / 2 = 70^\circ$. Меньший угол трапеции равен $70^\circ$. **Ответ: 70°**