Реши задачи в тестовой форме по геометрии.

1. A) $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Это верно, если $\alpha$ лежит в пределах от $90^\circ$ до $270^\circ$. 2. Г) $\sin(100^\circ)\cos(90^\circ) > 0$, т.к. $\cos(90^\circ) = 0$, а $\sin(100^\circ) > 0$. 3. По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$, где $a = 3$, $b = 8$, $\gamma = 120^\circ$. Тогда $c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) = 9 + 64 - 48 \cdot (-0.5) = 73 + 24 = 97$. Значит, $c = \sqrt{97}$ см. **Ответ: А) 4. По теореме косинусов для угла напротив большей стороны: $\cos(\alpha) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a = 4$, $b = 7$, $c = 9$. Тогда $\cos(\alpha) = \frac{4^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 81}{56} = \frac{-16}{56} < 0$. Значит, угол тупой. **Ответ: Б) 5. Пусть одна сторона $x$, тогда другая $x + 10$. По теореме косинусов: $14^2 = x^2 + (x + 10)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 10) \cdot \cos(60^\circ)$, $196 = x^2 + x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x$, $x^2 + 10x - 96 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484$, $x_1 = \frac{-10 + \sqrt{484}}{2} = \frac{-10 + 22}{2} = 6$, $x_2 = \frac{-10 - 22}{2} = -16$ (не подходит). Значит, одна сторона 6 см, другая 16 см. Наибольшая сторона 16 см. **Ответ: А) 6. Пусть стороны параллелограмма $2x$ и $3x$. По формуле для периметра: $P = 2(a + b) = 2(2x + 3x) = 10x$. Диагонали $d_1 = 17$ и $d_2 = 19$. Используем формулу связи между диагоналями и сторонами параллелограмма: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, $17^2 + 19^2 = 2(4x^2 + 9x^2)$, $289 + 361 = 26x^2$, $650 = 26x^2$, $x^2 = 25$, $x = 5$. Тогда периметр $P = 10 \cdot 5 = 50$ см. **Ответ: Г) 7. В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 8$ см, $\angle C = 30^\circ$, $\angle A = 45^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)}$, $BC = \frac{AB \cdot \sin(A)}{\sin(C)} = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{8 \cdot (\sqrt{2}/2)}{0.5} = 8\sqrt{2}$ см. **Ответ: А) 8. В треугольнике $ABC$: $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, тогда $\angle C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. Значит, треугольник равнобедренный, и $AC = AB$. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}$, $\frac{AC}{BC} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = \frac{0.5}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: В) 9. В треугольнике $ABC$: $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^\circ$. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin(C)} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности. $2R = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 8$ см. **Ответ: Б) 10. Наибольшее значение площади треугольника со сторонами 8 см и 12 см достигается, когда угол между ними равен $90^\circ$. Тогда $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$ см$^2$. **Ответ: Б) 11. Для треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см: $p = (25 + 33 + 52)/2 = 55$, $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{55 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 3} = \sqrt{108900} = 330$, $r = S/p = 330/55 = 6$, $R = (abc)/(4S) = (25 \cdot 33 \cdot 52) / (4 \cdot 330) = 32.5$, $r + R = 6 + 32.5 = 38.5$ см. **Ответ: Г)**