Найди значение выражения, определи, какие числа не входят в область допустимых значений дроби, сократи дробь, найди сумму или разность, выполни действия, упрости выражение, из формулы ёмкости вырази C1, упрости выражение, сократи дробь и докажи равенство.

1. Подставь значения $a = 0.4$ и $b = -5$ в выражение $\frac{2a-b}{ab}$: $$\frac{2 \cdot 0.4 - (-5)}{0.4 \cdot (-5)} = \frac{0.8 + 5}{-2} = \frac{5.8}{-2} = -2.9$$ **Ответ: -2.9** 2. а) В дробь $\frac{5x}{x+1}$ нельзя подставлять такое значение $x$, при котором знаменатель обращается в нуль. То есть $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. б) В дробь $\frac{a-4}{3a}$ нельзя подставлять $a = 0$, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль. 3. Сократим дробь $\frac{b^2-c^2}{b^2-bc}$: $$\frac{b^2-c^2}{b^2-bc} = \frac{(b-c)(b+c)}{b(b-c)} = \frac{b+c}{b}$$ 4. а) Приведем дроби к общему знаменателю и найдем разность: $$\frac{20}{a^2+4a} - \frac{5}{a} = \frac{20}{a(a+4)} - \frac{5}{a} = \frac{20 - 5(a+4)}{a(a+4)} = \frac{20 - 5a - 20}{a(a+4)} = \frac{-5a}{a(a+4)} = -\frac{5}{a+4}$$ б) Приведем дроби к общему знаменателю и найдем сумму: $$6m + \frac{3-7m^2}{m} = \frac{6m^2 + 3 - 7m^2}{m} = \frac{3 - m^2}{m}$$ 5. а) Выполним умножение дробей: $$\frac{x^2-a^2}{2ax^2} \cdot \frac{ax}{a+x} = \frac{(x-a)(x+a) \cdot ax}{2ax^2 \cdot (a+x)} = \frac{(x-a)}{2x}$$ б) Выполним деление дробей: $$\frac{8m^2}{n} : 2mn = \frac{8m^2}{n} \cdot \frac{1}{2mn} = \frac{4m}{n^2}$$ 6. Упростим выражение: $$\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \right) \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{a-b}{ab}$$ 7. Выразим $C_1$ из формулы $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$: $$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} - \frac{1}{C_2} = \frac{C_2 - C}{CC_2}$$ $$C_1 = \frac{CC_2}{C_2 - C}$$ 8. Упростим выражение: $$\frac{3a^2b}{x^2} \cdot \frac{x}{ab^2} : \frac{3a^2}{x^2b} = \frac{3a^2b}{x^2} \cdot \frac{x}{ab^2} \cdot \frac{x^2b}{3a^2} = \frac{3a^2b \cdot x \cdot x^2b}{x^2 \cdot ab^2 \cdot 3a^2} = \frac{x}{a}$$ 9. Сократим дробь $\frac{2x^2-2y^2}{1-2x-2y} \cdot \frac{x+y}{1}$: **Допущение:** в условии ошибка и требуется сократить дробь $\frac{2x^2-2y^2}{1-2x-2y}$. $$\frac{2x^2-2y^2}{1-2x-2y} = \frac{2(x^2-y^2)}{-(2x+2y-1)} = \frac{2(x-y)(x+y)}{-(2(x+y)-1)}$$ 10. Упростим выражение: $$\left(\frac{a-1}{a} - a\right)^2 - \left(\frac{a-1}{a} + a\right)^2 = \left(\frac{a-1 - a^2}{a}\right)^2 - \left(\frac{a-1 + a^2}{a}\right)^2 = \frac{(a-1-a^2)^2 - (a-1+a^2)^2}{a^2} = \frac{((a-1-a^2) - (a-1+a^2))((a-1-a^2) + (a-1+a^2))}{a^2} = \frac{(-2a^2)(2a-2)}{a^2} = \frac{-4a^2(a-1)}{a^2} = -4(a-1) = 4 - 4a$$ 11. Докажем, что верно равенство: $$\frac{1}{(x - y)(y - z)} + \frac{1}{(y - z)(z - x)} + \frac{1}{(z - x)(y - x)} = 0$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(z - x) - (x - y) + (y - z)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{z - x - x + y + y - z}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{2y - 2x}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{2(y - x)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{-2(x - y)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{-2}{(y - z)(z - x)}$$ **Допущение:** в условии ошибка и должно быть: $$\frac{1}{(x - y)(y - z)} + \frac{1}{(y - z)(z - x)} + \frac{1}{(z - x)(x - y)} = 0$$ $$\frac{1}{(x - y)(y - z)} - \frac{1}{(y - z)(x - z)} + \frac{1}{(z - x)(x - y)} = \frac{(z - x) - (x - y) + (y - z)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{z - x - x + y + y - z}{(x - y)(y - z)(z - x)} = \frac{0}{(x - y)(y - z)(z - x)} = 0 $$ Что и требовалось доказать.