Реши задачи 3-9 по геометрии.

3. В равнобедренной трапеции с углом $45^\circ$ и высотой 5 см, где одно основание равно 12 см, найдём другое основание. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и частью основания. Угол при основании равен $45^\circ$, значит, этот треугольник равнобедренный, и высота равна отрезку основания, отсекаемому высотой. Таким образом, этот отрезок тоже равен 5 см. Если большее основание равно 12 см, то меньшее будет $12 - 2 \cdot 5 = 2$ см. И наоборот. **Ответ: 2 см или 22 см** 4. Периметр параллелограмма равен 60 см, и одна сторона составляет 40% периметра. Найдем стороны параллелограмма. Одна сторона: $0.4 \cdot 60 = 24$ см. Вторая сторона: $(60 - 2 \cdot 24) / 2 = (60 - 48) / 2 = 12 / 2 = 6$ см. **Ответ: 24 см и 6 см** 5. Средняя линия треугольника равна 11 см. Найдем сторону треугольника, параллельную этой средней линии. Сторона треугольника, параллельная средней линии, равна двум средним линиям, то есть $2 \cdot 11 = 22$ см. **Ответ: 22 см** 6. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB \| CD$ и $BC \| AD$. Какое дополнительное условие сделает его ромбом? Так как $AB \| CD$ и $BC \| AD$, то $ABCD$ - параллелограмм. Чтобы параллелограмм стал ромбом, нужно, чтобы его стороны были равны, или диагонали пересекались под прямым углом. **Ответ: в) $AB = BC$ или г) $AC \perp BD$** 7. Точки $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Найдем $MN$, если основания равны 7 см и 15 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11$ см. **Ответ: 11 см** 8. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки 3 см и 5 см. Найдем периметр прямоугольника. Допущение: Биссектриса делит диагональ, выходя из вершины угла. Пусть прямоугольник $ABCD$, биссектриса угла $A$ пересекает диагональ $BD$ в точке $E$, $BE = 3$ см, $ED = 5$ см. Тогда $BD = 3 + 5 = 8$ см. Рассмотрим треугольник $ABD$: $AB/AD = BE/ED = 3/5$, то есть $AD = 5x$, $AB = 3x$. По теореме Пифагора: $(3x)^2 + (5x)^2 = 8^2$, $9x^2 + 25x^2 = 64$, $34x^2 = 64$, $x^2 = 64/34 = 32/17$, $x = \sqrt{32/17}$. Тогда $AD = 5\sqrt{32/17}$, $AB = 3\sqrt{32/17}$. Периметр прямоугольника: $P = 2(AD + AB) = 2(5\sqrt{32/17} + 3\sqrt{32/17}) = 2 \cdot 8\sqrt{32/17} = 16\sqrt{32/17} = 16\sqrt{32/17} \approx 21.64$ см. **Ответ: $16\sqrt{\frac{32}{17}}$ см или $\approx 21.64$ см** 9. В параллелограмме биссектриса острого угла делит противоположную сторону на отрезки 6 см и 10 см, начиная от вершины тупого угла. Найдем диагонали параллелограмма, если их разность равна 4 см. Допущение: Биссектриса выходит из острого угла и делит сторону на отрезки 6 и 10 см. Пусть параллелограмм $ABCD$, $AB \| CD$, $BC \| AD$. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$, $BE = 6$ см, $EC = 10$ см. Тогда $BC = 6 + 10 = 16$ см. Так как $AE$ - биссектриса, то угол $BAE$ равен углу $EAD$. Угол $BEA$ равен углу $EAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$. Значит, угол $BAE$ равен углу $BEA$, и треугольник $ABE$ - равнобедренный, $AB = BE = 6$ см. Пусть $AC = d_1$, $BD = d_2$, и $d_1 - d_2 = 4$. По свойству параллелограмма: $2(AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2$, $2(6^2 + 16^2) = d_1^2 + d_2^2$, $2(36 + 256) = d_1^2 + d_2^2$, $2 \cdot 292 = d_1^2 + d_2^2$, $584 = d_1^2 + d_2^2$. Так как $d_1 = d_2 + 4$, то $584 = (d_2 + 4)^2 + d_2^2$, $584 = d_2^2 + 8d_2 + 16 + d_2^2$, $2d_2^2 + 8d_2 - 568 = 0$, $d_2^2 + 4d_2 - 284 = 0$. $d_2 = (-4 + \sqrt{16 + 4 \cdot 284}) / 2 = (-4 + \sqrt{1152}) / 2 = (-4 + 24\sqrt{2}) / 2 = -2 + 12\sqrt{2} \approx 14.97$ см. $d_1 = d_2 + 4 = 2 + 12\sqrt{2} \approx 18.97$ см. **Ответ: $AC \approx 18.97$ см, $BD \approx 14.97$ см**