Найди значение выражения, какое из чисел не входит в область определения выражения, реши уравнение, разложи квадратный трехчлен на множители, реши неравенство и систему уравнений.

1. Найди значение выражения: $\frac{(3x)^3 \cdot x^{-9}}{x^{-10} \cdot 2x^3}$ при $x=5$ $\frac{(3 \cdot 5)^3 \cdot 5^{-9}}{5^{-10} \cdot 2 \cdot 5^3} = \frac{15^3 \cdot 5^{-9}}{5^{-10} \cdot 2 \cdot 5^3} = \frac{3375 \cdot 5^{-9}}{2 \cdot 5^{-7}} = \frac{3375 \cdot 5^{-9}}{2 \cdot 5^{-7}} = \frac{3375}{2} \cdot 5^{-2} = \frac{3375}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{135}{2} = 67.5$ **Ответ: 67,5** 2. Какое из данных чисел не входит в область определения выражения $\sqrt{3x-5}$ Выражение имеет смысл, когда $3x-5 \ge 0$, то есть $3x \ge 5$, $x \ge \frac{5}{3} \approx 1,67$. Следовательно, $-0.5$ не входит в область определения. **Ответ: 1) $-0.5$** 3. Решите уравнение: $3x^2 = 7x - 2$ $3x^2 - 7x + 2 = 0$ $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ - два корня. $x_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$ **Ответ: $\frac{1}{3}$; 2** 4. Разложите на множители квадратный трехчлен: $x^2 + 6x + 8$ $x^2 + 6x + 8 = 0$ $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 > 0$ - два корня. $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ **Ответ: $(x+4)(x+2)$** 5. Решить неравенство: $(x-5)(x-1)(3-x) \le 0$ Находим нули функции: $x = 5, x = 1, x = 3$. Определяем знаки на интервалах: $(-\infty; 1], [1; 3], [3; 5], [5; +\infty)$. Выбираем интервалы, где функция отрицательна или равна нулю. **Ответ: $x \in [1; 3] \cup [5; +\infty)$** 6. Решить неравенство: $-x^2 + x - 2 > 0$ $-x^2 + x - 2 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 1 - 8 = -7 < 0$ - нет корней. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, то парабола направлена ветвями вниз. Значит, неравенство $-x^2 + x - 2 > 0$ не имеет решений. **Ответ: нет решений** 7. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} x + y = 6 \\ 3x - 4y = -17 \end{cases}$$ Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 6 - y$. Подставим во второе уравнение: $3(6 - y) - 4y = -17$ $18 - 3y - 4y = -17$ $-7y = -17 - 18$ $-7y = -35$ $y = 5$ $x = 6 - 5 = 1$ **Ответ: (1; 5)**