Реши задачи по геометрии из варианта 1: найди сторону и площадь треугольника, сторону треугольника, определи тип треугольника, найди периметр треугольника, найди радиус окружности, найди медиану треугольника.

1. Для нахождения третьей стороны треугольника используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$. В нашем случае $a = 4$, $b = 8$, $\gamma = 60^\circ$. Тогда $c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot cos(60^\circ) = 16 + 64 - 64 \cdot (1/2) = 80 - 32 = 48$. Значит, $c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = (1/2)ab \cdot sin(\gamma)$. В нашем случае $S = (1/2) \cdot 4 \cdot 8 \cdot sin(60^\circ) = 16 \cdot (\sqrt{3}/2) = 8\sqrt{3}$ кв. см. **Ответ:** Третья сторона $4\sqrt{3}$ см, площадь $8\sqrt{3}$ кв. см. 2. По теореме синусов: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$. Пусть угол $A = 30^\circ$, угол $B = 135^\circ$, и сторона $a = 4$ см лежит против угла $A$. Нам нужно найти сторону $b$, лежащую против угла $B$. Тогда $\frac{4}{sin 30^\circ} = \frac{b}{sin 135^\circ}$. $sin 30^\circ = 1/2$, $sin 135^\circ = \sqrt{2}/2$. $\frac{4}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2}$ => $8 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$ => $b = 4\sqrt{2}$ см. **Ответ:** Сторона $4\sqrt{2}$ см. 3. Чтобы определить тип треугольника, проверим, выполняется ли неравенство треугольника: $4 + 5 > 7$, $4 + 7 > 5$, $5 + 7 > 4$. Все неравенства выполняются, значит, треугольник существует. Теперь проверим теорему косинусов для самого большого угла (против самой большой стороны): $7^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot cos(\gamma)$ $49 = 16 + 25 - 40 \cdot cos(\gamma)$ $49 = 41 - 40 \cdot cos(\gamma)$ $8 = -40 \cdot cos(\gamma)$ $cos(\gamma) = -8/40 = -1/5 = -0.2$ Так как косинус угла отрицательный, угол $\gamma$ тупой, следовательно, треугольник тупоугольный. **Ответ:** Треугольник тупоугольный. 4. Пусть одна сторона равна $x$, тогда другая $x + 2$. Третья сторона равна 7 см. Угол между сторонами $x$ и $x + 2$ равен $120^\circ$. По теореме косинусов: $7^2 = x^2 + (x + 2)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 2) \cdot cos(120^\circ)$ $49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 - 2x(x + 2) \cdot (-1/2)$ $49 = 2x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$ $0 = 3x^2 + 6x - 45$ $0 = x^2 + 2x - 15$ Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$ $x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной) Значит, одна сторона равна 3 см, другая 3 + 2 = 5 см. Периметр треугольника: $P = 3 + 5 + 7 = 15$ см. **Ответ:** Периметр треугольника равен 15 см. 5. Для нахождения радиуса вписанной окружности используем формулу: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр. Полупериметр: $p = (7 + 15 + 20) / 2 = 42 / 2 = 21$ см. Площадь найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{21(21 - 7)(21 - 15)(21 - 20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ кв. см. Радиус: $r = \frac{42}{21} = 2$ см. **Ответ:** Радиус вписанной окружности равен 2 см. 6. **Допущение:** Буду считать, что стороны треугольника $a = 7$, $b = 11$, $c = 12$. Медиана проведена к стороне $c = 12$. Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, может быть найдена по формуле: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 121 - 144} = \frac{1}{2} \sqrt{98 + 242 - 144} = \frac{1}{2} \sqrt{196} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см. **Ответ:** Длина медианы равна 7 см.