Реши задачи по геометрии про треугольник.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, угол $B = 180^\circ - 67^\circ - 83^\circ = 30^\circ$. По теореме синусов $\frac{BC}{sin A} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности. Отсюда $BC = 2R \cdot sin A = 2 \cdot 16 \cdot sin 30^\circ = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$. **Ответ: BC = 16** 2. По теореме синусов $\frac{AC}{sin B} = \frac{BC}{sin A}$. Угол $A = 60^\circ$, угол $B = 45^\circ$, $BC = 7\sqrt{6}$. Тогда $AC = \frac{BC \cdot sin B}{sin A} = \frac{7\sqrt{6} \cdot sin 45^\circ}{sin 60^\circ} = \frac{7\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{\frac{12}{3}} = 7\sqrt{4} = 7 \cdot 2 = 14$. **Ответ: AC = 14** 3. По теореме синусов $\frac{AC}{sin B} = 2R$. Угол $A = 75^\circ$, угол $C = 60^\circ$, тогда угол $B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$. Радиус $R = 3\sqrt{2}$. Тогда $AC = 2R \cdot sin B = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot sin 45^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 6$. **Ответ: AC = 6** 4. **Допущение:** $AB = 15$, $AC = 8\sqrt{5}$. По теореме косинусов $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos A = 15^2 + (8\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8\sqrt{5} \cdot cos 60^\circ = 225 + 320 - 2 \cdot 15 \cdot 8\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = 545 - 120\sqrt{5}$. Тогда $BC = \sqrt{545 - 120\sqrt{5}} \approx 5.22$. По теореме синусов $\frac{BC}{sin A} = \frac{AC}{sin B}$, следовательно, $sin B = \frac{AC \cdot sin A}{BC} = \frac{8\sqrt{5} \cdot sin 60^\circ}{\sqrt{545 - 120\sqrt{5}}} = \frac{8\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{545 - 120\sqrt{5}}} = \frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{545 - 120\sqrt{5}}} \approx 6.26$. Это невозможно, синус не может быть больше 1. **Недостаточно данных для решения** 5. Для определения вида треугольника найдем длины сторон: $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ $BC = \sqrt{(0-4)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ $AC = \sqrt{(3-4)^2 + (9-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ Так как $AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 18 + 32 = 50 = (5\sqrt{2})^2 = AC^2$, то треугольник прямоугольный. **Ответ: треугольник прямоугольный**