Докажи, что ∠CBD = ∠DEC, если на сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE.

Для доказательства равенства углов $\angle CBD$ и $\angle DEC$ рассмотрим рисунок 52. 1. Так как $AC = AD$ и $AB = AE$, то треугольник $ABE$ и треугольник $ACD$ являются равнобедренными. 2. Углы при основании равнобедренных треугольников равны. Значит, $\angle ABE = \angle AEB$ и $\angle ACD = \angle ADC$. 3. По условию, $\angle BAC = \angle DAE$. 4. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACE$. У них $AB = AE$, $AC = AD$ и $\angle BAC = \angle DAE$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACE$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 5. Из равенства треугольников $ABD$ и $ACE$ следует равенство углов: $\angle ABD = \angle ACE$ и $\angle ADB = \angle AEC$. 6. Теперь рассмотрим углы $\angle CBD$ и $\angle DEC$. Мы знаем, что $\angle ABC = \angle ABE + \angle CBD$ и $\angle ADE = \angle ADE + \angle DEC$. Так как $\angle ABD = \angle ACE$, а $\angle ABE = \angle AEB$ и $\angle ACD = \angle ADC$, то $\angle CBD = \angle DEC$. **Ответ:** $\angle CBD = \angle DEC$.