Реши задачи по геометрии из варианта 1: найди третью сторону треугольника и его площадь, сторону AB треугольника, угол \angle MPN, AC, угол \angle AOK.

1. По теореме косинусов найдем третью сторону треугольника: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$, где $a = 10$, $b = 12$, $\gamma = 120^\circ$. Тогда $c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120^\circ) = 100 + 144 - 240 \cdot (-0.5) = 244 + 120 = 364$. Значит, $c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$. 2. По теореме синусов найдем сторону AB: $\frac{AB}{sin(\angle C)} = \frac{AC}{sin(\angle B)}$, где $AC = 5\sqrt{2}$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$. Тогда $AB = \frac{AC \cdot sin(\angle C)}{sin(\angle B)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot sin(30^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5$. 3. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Биссектрисы делят углы пополам, поэтому $\angle NAC = \angle NCA = 30^\circ$. Угол $\angle ANC = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$. В точке пересечения биссектрис образуется угол $\angle MPN$. Так как биссектрисы в равностороннем треугольнике пересекаются под углом 120°, то $\angle MPN = 120^\circ$. 4. В равнобедренном треугольнике $AC = BC$. Пусть $AC = x$. Высота CH является также медианой, поэтому $AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. По теореме Пифагора для треугольника $ACH$: $AC^2 = AH^2 + CH^2$, то есть $x^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Значит, $x = \sqrt{169} = 13$. 5. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в точке O и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Так как медианы являются и высотами, то $\angle BKA = 90^\circ$. Угол $\angle BAK = 60^\circ$, тогда $\angle ABK = 30^\circ$. Угол $\angle AOK$ является внешним углом для треугольника $BOK$, поэтому $\angle AOK = \angle OBK + \angle BKO = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$.