Определи вид треугольника со сторонами 8, 15, 17; найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны равны 12 см и 13 см, а угол между ними - 60°; реши треугольник: a = 10; b = 12; ∠A = 45°

Вариант 3. 1. Стороны треугольника 8, 15, 17. Проверим теорему Пифагора: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$. Значит, треугольник прямоугольный. 2. Дано: две стороны треугольника 12 см и 13 см, угол между ними 60 градусов. Пусть $a = 12$ см, $b = 13$ см, $\gamma = 60^\circ$. По теореме косинусов найдем третью сторону $c$: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$ $$c^2 = 12^2 + 13^2 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot cos(60^\circ) = 144 + 169 - 2 \cdot 12 \cdot 13 \cdot \frac{1}{2} = 313 - 156 = 157$$ $$c = \sqrt{157} \approx 12.53 \text{ см}$$ Площадь треугольника найдем по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot sin(60^\circ) = 6 \cdot 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 39\sqrt{3} \approx 67.4 \text{ см}^2$$ 3. Дано: $a = 10$, $b = 12$, $\angle A = 45^\circ$. По теореме синусов: $$\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)}$$ $$\frac{10}{sin(45^\circ)} = \frac{12}{sin(B)}$$ $$sin(B) = \frac{12 \cdot sin(45^\circ)}{10} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10} = \frac{6\sqrt{2}}{10} = \frac{3\sqrt{2}}{5} \approx 0.8485$$ $\angle B = arcsin(0.8485) \approx 58.08^\circ$ или $\angle B \approx 180^\circ - 58.08^\circ = 121.92^\circ$ Случай 1: $\angle B \approx 58.08^\circ$ $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 58.08^\circ = 76.92^\circ$ $$c = \frac{a \cdot sin(C)}{sin(A)} = \frac{10 \cdot sin(76.92^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{10 \cdot 0.9736}{0.7071} \approx 13.77$$ Случай 2: $\angle B \approx 121.92^\circ$ $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 121.92^\circ = 13.08^\circ$ $$c = \frac{a \cdot sin(C)}{sin(A)} = \frac{10 \cdot sin(13.08^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{10 \cdot 0.2258}{0.7071} \approx 3.19$$