Найди третью сторону треугольника и его площадь, сторону BC треугольника, периметр треугольника.

1. По теореме косинусов найдем третью сторону $c$ треугольника: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$ $$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$$ $$c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$$ $$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21 \text{ см}$$ Для нахождения площади треугольника используем формулу: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)$$ $$S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}^2$$ 2. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $B$: $$<B = 180^\circ - <A - <C = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$$ По теореме синусов найдем сторону $BC$: $$\frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)}$$ $$BC = \frac{AB \cdot \sin(A)}{\sin(C)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3} \approx 5.20 \text{ см}$$ 3. Пусть $a$ и $b$ — две стороны треугольника, где $a = b + 8$. Третья сторона $c = 28$ см. Угол между сторонами $a$ и $b$ равен $120^\circ$. По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$$ $$28^2 = (b + 8)^2 + b^2 - 2(b + 8)b \cos(120^\circ)$$ $$784 = b^2 + 16b + 64 + b^2 - 2(b^2 + 8b) \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$784 = 2b^2 + 16b + 64 + b^2 + 8b$$ $$3b^2 + 24b - 720 = 0$$ $$b^2 + 8b - 240 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$$ $$b = \frac{-8 \pm \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 \pm 32}{2}$$ Так как длина стороны не может быть отрицательной, то: $$b = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$$ Тогда $a = b + 8 = 12 + 8 = 20 \text{ см}$. Периметр треугольника: $$P = a + b + c = 20 + 12 + 28 = 60 \text{ см}$$ **Ответы:** 1. Третья сторона: $2\sqrt{13} \approx 7.21$ см, площадь: $12\sqrt{3} \approx 20.78$ см$^2$ 2. Сторона $BC = 3\sqrt{3} \approx 5.20$ см 3. Периметр треугольника: 60 см