Реши контрольную работу по геометрии за первую четверть.

Привет! Сейчас помогу. 1. Найдём $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Тогда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. Следовательно, $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$. **Ответ:** $\sin\alpha = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$ 2. Найдём $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{2}{3}$. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Тогда $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$. Следовательно, $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$. **Ответ:** $\cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$ 3. Найдём $\tan\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Чтобы найти $\sin\alpha$, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Следовательно, $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Тогда $\tan\alpha = \frac{\pm\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. **Ответ:** $\tan\alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ 4. Проверим, принадлежит ли точка $A\left(\frac{1}{2}; \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ единичной окружности. Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $x^2 + y^2 = 1$ для координат точки $A$. $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{1}{4} + \frac{8}{9} = \frac{9 + 32}{36} = \frac{41}{36}$. Так как $\frac{41}{36} \neq 1$, точка $A$ не принадлежит единичной окружности. **Ответ:** точка $A$ не принадлежит единичной окружности. 5. Построим окружности: a) $x^2 + y^2 = 16$ Это окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$. b) $(x - 1)^2 + y^2 = 9$ Это окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. c) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$ Это окружность с центром в точке $(-2, 1)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. :::div .chart-container @chart-1:::