37. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, CH - высота, проведённая к большему основанию AD. Найди длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 22, а меньшее основание BC равно 10.

37. Пусть $AD$ – большее основание, $BC$ – меньшее основание, $KM$ – средняя линия трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$KM = \frac{AD + BC}{2}$$ Подставим известные значения: $$22 = \frac{AD + 10}{2}$$ $$44 = AD + 10$$ $$AD = 34$$ Так как $CH$ – высота, проведённая к основанию $AD$, и трапеция равнобедренная (боковые стороны равны), то $$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{34 - 10}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ **Ответ: 12** 38. Площадь трапеции $ABCD$ равна: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$ где $h$ – высота трапеции. Нам известна площадь $S_{ABCD} = 34$ и основания $AD = 9$, $BC = 8$. Подставим известные значения и найдём высоту: $$34 = \frac{8 + 9}{2} \cdot h$$ $$34 = \frac{17}{2} \cdot h$$ $$h = \frac{34 \cdot 2}{17} = 4$$ $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$, значит: $$MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + 9}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$$ Площадь трапеции $BCNM$ равна: $$S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot h = \frac{8 + 8,5}{2} \cdot 4 = 16,5 \cdot 2 = 33$$ **Ответ: 33**