Найди углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника, если диагонали пересекаются под углом 20°.

1. Пусть прямоугольник $ABCD$, $O$ - точка пересечения диагоналей, $\angle AOB = 20^\circ$. Тогда $\angle BOC = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$. Так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, то $BO = OC$, то есть треугольник $BOC$ - равнобедренный, а значит $\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 160^\circ) / 2 = 10^\circ$. Тогда $\angle ABO = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ$. **Ответ: 10°, 80°** 2. Допущение: ромб $ABCD$, $AM$ - биссектриса угла $BAC$, точка $M$ лежит на стороне $BC$, $\angle AMC = 120^\circ$. Нужно найти углы ромба. $\angle MAC = 180^\circ - \angle AMC - \angle ACM = 180^\circ - 120^\circ - \angle C = 60^\circ - \angle C$. Так как $AM$ - биссектриса угла $BAC$, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle MAC = 2(60^\circ - \angle C) = 120^\circ - 2 \cdot \angle C$. В ромбе противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то есть $\angle BAC + \angle C = 180^\circ$. Подставим выражение для $\angle BAC$: $120^\circ - 2 \cdot \angle C + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle C = -60^\circ$. Это невозможно. Проверьте условие задачи. 3. Допущение: $ABCD$ - квадрат, внутри него выбрана точка $M$ так, что треугольник $AMD$ - равносторонний. Нужно найти угол $AMB$. $\angle MAD = \angle MDA = 60^\circ$ (так как $AMD$ - равносторонний). $\angle MAB = \angle DAB - \angle MAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. $\angle MBA = \angle MCB = 30^\circ$ (из симметрии). Тогда $\angle AMB = 180^\circ - \angle MAB - \angle MBA = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. **Ответ: 120°**