Найди площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 – 3x – 4, y = 0, x = 0, x = 3

Привет! Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 3x - 4$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 3$, нужно вычислить определенный интеграл. Вот как это делается: 1. **Находим корни уравнения** $x^2 - 3x - 4 = 0$. Это нужно, чтобы понять, где парабола пересекает ось $x$. 2. **Решаем квадратное уравнение:** $x^2 - 3x - 4 = 0$ $(x - 4)(x + 1) = 0$ Корни: $x = 4$ и $x = -1$. 3. **Определяем знаки функции** на интервале $[0, 3]$. Так как один из корней ($x = 4$) больше 3, а другой ($x = -1$) меньше 0, функция на интервале $[0, 3]$ отрицательна (или равна нулю). 4. **Вычисляем интеграл:** Площадь равна абсолютной величине интеграла от 0 до 3: $$S = \left| \int_{0}^{3} (x^2 - 3x - 4) dx \right|$$ 5. **Находим первообразную** функции $x^2 - 3x - 4$: $$F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 4x$$ 6. **Вычисляем определенный интеграл:** $$S = \left| F(3) - F(0) \right| = \left| \left( \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 4(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 - 4(0) \right) \right|$$ $$S = \left| \left( 9 - \frac{27}{2} - 12 \right) - 0 \right| = \left| -3 - \frac{27}{2} \right| = \left| -\frac{6}{2} - \frac{27}{2} \right| = \left| -\frac{33}{2} \right|$$ $$S = \frac{33}{2} = 16.5$$ **Ответ: Площадь фигуры равна 16.5 квадратных единиц.**