Найди третью сторону треугольника и его площадь, если две стороны равны 6 см и $4\sqrt{2}$ см, а угол между ними – 135°.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = 6 см, AC = $4\sqrt{2}$ см, угол BAC = 135°. Требуется найти сторону BC и площадь треугольника ABC. 1. **Найдём сторону BC по теореме косинусов:** $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$$ $$BC^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(135°)$$ $$BC^2 = 36 + 32 - 48\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$ $$BC^2 = 68 + 48$$ $$BC^2 = 116$$ $$BC = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$$ Итак, BC = $2\sqrt{29}$ см. 2. **Найдём площадь треугольника ABC:** Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(135°)$$ $$S = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$S = 12$$ Итак, площадь треугольника ABC равна 12 квадратных сантиметров. **Ответ:** Третья сторона треугольника равна $2\sqrt{29}$ см, а площадь равна 12 см².