1. Разложим число 7140 на простые множители:
$7140 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17$
2. Найдем НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) чисел 936 и 1404:
Разложим числа на простые множители:
$936 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13$
$1404 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 13$
НОД $(936, 1404) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 468$
НОК $(936, 1404) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 13 = 8 \cdot 27 \cdot 13 = 2808$
3. Докажем:
а) 483 и 368 не взаимно простые:
$483 = 3 \cdot 7 \cdot 23$
$368 = 2^4 \cdot 23$
НОД $(483, 368) = 23$. Так как НОД не равен 1, числа не взаимно простые.
б) 468 и 875 взаимно простые:
$468 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13$
$875 = 5^3 \cdot 7$
НОД $(468, 875) = 1$. Так как НОД равен 1, числа взаимно простые.
4. Решим задачу про розы:
Пусть $x$ - количество букетов. Тогда число чайных роз в каждом букете равно $\frac{156}{x}$, белых - $\frac{234}{x}$, красных - $\frac{390}{x}$.
Так как количество роз каждого вида в букете должно быть целым числом, то $x$ должен быть делителем чисел 156, 234 и 390. Значит, $x$ является общим делителем этих чисел. Найдем НОД $(156, 234, 390)$.
$156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$
$234 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$
$390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$
НОД $(156, 234, 390) = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78$.
Так как число роз в букете должно быть больше 50, то $x$ может быть равно 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39 или 78.
Так как в каждом букете роз каждого вида должно быть поровну, то число роз каждого вида в букете должно быть больше 50.
Если $x=1$, то в букете 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=1$ не подходит.
Если $x=2$, то в букете 78 чайных, 117 белых и 195 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=2$ не подходит.
Если $x=3$, то в букете 52 чайных, 78 белых и 130 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=3$ не подходит.
Если $x=6$, то в букете 26 чайных, 39 белых и 65 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=6$ не подходит.
Если $x=13$, то в букете 12 чайных, 18 белых и 30 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=13$ не подходит.
Если $x=26$, то в букете 6 чайных, 9 белых и 15 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=26$ не подходит.
Если $x=39$, то в букете 4 чайных, 6 белых и 10 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=39$ не подходит.
Если $x=78$, то в букете 2 чайных, 3 белых и 5 красных роз. Но число роз каждого вида должно быть больше 50, поэтому $x=78$ не подходит.
Так как число роз в букете должно быть больше 50, то $x$ может быть только 3. Тогда в каждом букете 52 чайные, 78 белых и 130 красных роз.
Тогда количество букетов равно 3, и в каждом букете 52 чайные, 78 белые и 130 красные розы.
5. Решим задачу про тетради:
Пусть $N$ - количество тетрадей. Тогда $N$ делится на 15 и на 20, то есть $N$ кратно 15 и 20. Найдем НОК $(15, 20)$.
$15 = 3 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
НОК $(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Значит, $N$ кратно 60, то есть $N = 60k$ для некоторого целого $k$.
Так как $900 < N < 1000$, то $900 < 60k < 1000$. Разделим все части неравенства на 60:
$\frac{900}{60} < k < \frac{1000}{60}$
$15 < k < 16.66...$
Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 16$.
Тогда $N = 60 \cdot 16 = 960$.
**Ответ:**
1. $7140 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17$
2. НОД $(936, 1404) = 468$, НОК $(936, 1404) = 2808$
3. а) 483 и 368 не взаимно простые, так как НОД $(483, 368) = 23$ б) 468 и 875 взаимно простые, так как НОД $(468, 875) = 1$
4. 3 букета, в каждом букете 52 чайные, 78 белые и 130 красные розы.
5. 960 тетрадей.
