Найди ∠2. Докажи, что ∠OMP = ∠OPM; найди ∠NOM, если ∠МОР = 105°. Докажи, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

112. \ Смежные углы в сумме дают 180 градусов. Значит, $\angle ABC = 180 - 130 = 50^{\circ}$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому $\angle BAC = \angle BCA = (180 - 50) / 2 = 65^{\circ}$. Значит, $\angle 2 = 65^{\circ}$. **Ответ: $\angle 2 = 65^{\circ}$** 113. а) Рассмотрим треугольники $ \triangle MNO $ и $ \triangle PQO $. $MN = PQ$ (по условию). $\angle MNO = \angle PQO = 90^{\circ}$ (так как MN и PQ – перпендикуляры). $NO = QO$ (так как O – середина NQ). Следовательно, $ \triangle MNO = \triangle PQO $ (по первому признаку равенства треугольников). Тогда $MO = PO$ как соответственные элементы равных треугольников, то есть $ \triangle MOP $ – равнобедренный. Отсюда $\angle OMP = \angle OPM$ как углы при основании равнобедренного треугольника. б) $\angle MOP = 105^{\circ}$. $ \triangle MOP $ - равнобедренный, $\angle OMP = \angle OPM = (180^{\circ} - 105^{\circ})/2 = 37,5^{\circ}$. Так как $ \triangle MNO = \triangle PQO $, то $\angle NOM = \angle QOP $. $ \angle NOM = (180 - 90 - 37,5) = 52,5^{\circ}$. **Ответ: $\angle NOM = 52,5^{\circ}$** 114. Докажем, что медианы, проведённые к равным сторонам в равных треугольниках, равны. Пусть даны равные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $CA = C_1A_1$. Проведём медианы $BM$ и $B_1M_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Нужно доказать, что $BM = B_1M_1$. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. У них $AB = A_1B_1$ (по условию), $AM = A_1M_1$ (так как $AC = A_1C_1$ и медианы делят стороны пополам) и $\angle A = \angle A_1$ (так как $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $). Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1 $ (по первому признаку равенства треугольников). Отсюда $BM = B_1M_1$, что и требовалось доказать.