1. Найдите производную функции: а) f(x) = x^5 - 2x + 3; б) f(x) = 4/x; в) f(x) = 1,4√x; г) f(x) = x^6/3 + 2x; д) f(x) = sinx - 3ctgx - 11.

### 1. Найдите производную функции: а) $f(x) = x^5 - 2x + 3 \Rightarrow f'(x) = 5x^4 - 2$ б) $f(x) = \frac{4}{x} = 4x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$ в) $f(x) = 1,4\sqrt{x} = 1,4x^{0,5} \Rightarrow f'(x) = 1,4 \cdot 0,5x^{-0,5} = 0,7 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{0,7}{\sqrt{x}}$ г) $f(x) = \frac{x^6}{3} + 2x \Rightarrow f'(x) = \frac{6x^5}{3} + 2 = 2x^5 + 2$ д) $f(x) = \sin x - 3\operatorname{ctg} x - 11 \Rightarrow f'(x) = \cos x - 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$ ### 2. Вычислите значение производной и определите характер функции: $f(x) = x^5 - 5x^2 - 3 \Rightarrow f'(x) = 5x^4 - 10x$ Найдем значение в точке $x_0 = -1$: $f'(-1) = 5(-1)^4 - 10(-1) = 5(1) + 10 = 15$ Так как $f'(-1) = 15 > 0$, функция **возрастает** в этой точке. ### 3. Найдите скорость материальной точки: Скорость $v(t) = S'(t)$. $S(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^3 - t^2 - 3t + 1$ $v(t) = S'(t) = \frac{1}{2} \cdot 4t^3 - 3t^2 - 2t - 3 = 2t^3 - 3t^2 - 2t - 3$ Найдем скорость при $t = 3$ с: $v(3) = 2(3^3) - 3(3^2) - 2(3) - 3 = 2(27) - 3(9) - 6 - 3 = 54 - 27 - 6 - 3 = 18$ м/с. ### 4. Исследование функций: а) $y = 2x - x^2$. $y' = 2 - 2x = 2(1 - x)$. Критическая точка: $x = 1$. $y' > 0$ при $x < 1$ (функция возрастает), $y' < 0$ при $x > 1$ (функция убывает). Точка $x = 1$ — **точка максимума**. б) $y = 15 - 12x^2 + x^3$. $y' = -24x + 3x^2 = 3x(x - 8)$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 8$. Интервалы знакопостоянства производной: $x \in (-\infty, 0)$ : $y' > 0$ (возрастает) $x \in (0, 8)$ : $y' < 0$ (убывает) $x \in (8, +\infty)$ : $y' > 0$ (возрастает) $x = 0$ — **точка максимума**, $x = 8$ — **точка минимума**. ### 5. Найдите производную: а) $f(x) = (x^2 - 3)(x + x^3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot x^3 - 3x - 3x^3 = x^3 + x^5 - 3x - 3x^3 = x^5 - 2x^3 - 3x$ $f'(x) = 5x^4 - 6x^2 - 3$ б) $y = \frac{x^5 + x}{x - 1}$. Используем правило $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $u = x^5 + x, u' = 5x^4 + 1$ $v = x - 1, v' = 1$ $y' = \frac{(5x^4 + 1)(x - 1) - (x^5 + x)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{5x^5 - 5x^4 + x - 1 - x^5 - x}{(x - 1)^2} = \frac{4x^5 - 5x^4 - 1}{(x - 1)^2}$