Начерти два неколлинеарных вектора a и b и построй векторы, равные: а) a + 3b; б) 2b-a. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O - точка пересечения диагоналей. Вырази векторы AO, AK через векторы a=AB и b = AD. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найди среднюю линию трапеции.

1. а) Чтобы построить вектор $\vec{a} + 3\vec{b}$, сначала постройте вектор $3\vec{b}$ (это вектор, в три раза длиннее $\vec{b}$ и сонаправленный с ним). Затем, прибавьте к концу вектора $3\vec{b}$ вектор $\vec{a}$. Полученный вектор и будет $\vec{a} + 3\vec{b}$. б) Чтобы построить вектор $2\vec{b} - \vec{a}$, сначала постройте вектор $2\vec{b}$ (это вектор, в два раза длиннее $\vec{b}$ и сонаправленный с ним). Затем, от конца вектора $2\vec{b}$ отложите вектор, противоположный вектору $\vec{a}$ (то есть, вектор $-\vec{a}$). Полученный вектор и будет $2\vec{b} - \vec{a}$. 2. В ромбе $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, $\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$, то $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$. $\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK}$. Так как $K$ – середина $BC$, то $\vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{b}$. Следовательно, $\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$. 3. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – полусумме оснований (средней линии). Значит, большая боковая сторона делится на отрезки 5 и 12 см, то есть полусумма оснований равна 12 см. **Ответ: 12 см**