1. Рассмотрим рисунок 195.
Допущение: $AM = 6$ см.
Так как $ABCD$ – ромб, то $\angle A = 60^\circ$. $AM$ – высота, следовательно, $\angle AMD = 90^\circ$. Тогда $\angle ADM = 30^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$ равен половине гипотенузы, то есть $AM = \frac{1}{2}AD$. Отсюда, $AD = 2AM = 2 \cdot 6 = 12$ см. Так как $ABCD$ – ромб, то все его стороны равны, то есть $AD = CD = BC = AB = 12$ см. $MD = AD - AM = 12 - 6 = 6$ см. Так как $DN$ – высота, опущенная из вершины $D$ на сторону $BC$, то $\angle DNC = 90^\circ$. Тогда $\bigtriangleup DNC$ – прямоугольный, $\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $DN = CD \cdot sinC = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. $MD + DN = 6 + 6\sqrt{3} = 6(1+\sqrt{3})$ см.
**Ответ:** $MD + DN = 6(1+\sqrt{3})$ см.
2. Рассмотрим рисунок 196.
Допущение: $\angle DKE = 75^\circ$.
$\angle CDK = 90^\circ$, так как $DK$ – высота. $\angle KDC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$. $\angle ADC = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$. Так как $ABCD$ – ромб, то $\angle ABC = \angle ADC = 30^\circ$. $BE$ – высота, тогда $\angle BEC = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\bigtriangleup BEC$ $\angle CBE = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
**Ответ:** $\angle CBE = 60^\circ$.
3. Рассмотрим рисунок 197.
Так как $ABCD$ – ромб, то $AB = BC = CD = AD$. $\bigtriangleup ABD$ – равнобедренный, так как $AB = AD$. $\angle ABD = \angle ADB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, тогда $\angle BAD = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ$.
**Ответ:** $\angle BAD = 70^\circ$.
4. Рассмотрим рисунок 198.
Допущение: $\angle CAD = 35^\circ$.
$\bigtriangleup ABC$ – равнобедренный, так как $AB = BC$ (ромб). $\angle BAC = \angle BCA$. $\angle BAC = \angle CAD = 35^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - 35^\circ - 35^\circ = 110^\circ$.
**Ответ:** $\angle ABC = 110^\circ$.
5. Рассмотрим рисунок 199.
Допущение: $\angle ADC = 150^\circ$.
Так как $ABCD$ – ромб, то $AD = DC$. Тогда $\bigtriangleup ADC$ – равнобедренный, значит, $\angle DAC = \angle DCA$. $\angle DAC + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ$, следовательно, $\angle DCA = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.
**Ответ:** $\angle C = 15^\circ$.
6. Рассмотрим рисунок 200.
Так как $ABCD$ – квадрат, то $AB = BC = CD = AD$. $MNKP$ – квадрат, так как по условию $AM = BK = CP = DN$, а также $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$. Тогда $\bigtriangleup AMK = \bigtriangleup BMN = \bigtriangleup CNP = \bigtriangleup DPK$ (по двум катетам). $AK = AM \cdot tg30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.\\
$MK = \sqrt{AM^2 + AK^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 + \frac{4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{12 + 4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.\\
$P_{MNKP} = 4 \cdot MK = 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.
**Ответ:** $P_{MNKP} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.
