Найди периметр треугольника АОВ, если ∠CAD=30, АС = 12 см.

В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Нужно найти периметр треугольника $AOB$, если $\angle CAD = 30^\circ$ и $AC = 12$ см. 1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = OB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$. В нём $\angle CAD = 30^\circ$. Тогда $\angle AOD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 3. Так как $AO = OB$, то треугольник $AOB$ равнобедренный. Значит, $\angle OAB = \angle OBA$. 4. Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$. Тогда $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$. Подставим известные значения: $\angle OAB + \angle OBA + 60^\circ = 180^\circ$. 5. $\angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. 6. Так как $\angle OAB = \angle OBA$, то $2 \cdot \angle OAB = 120^\circ$. Значит, $\angle OAB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. 7. Все углы треугольника $AOB$ равны $60^\circ$, следовательно, он равносторонний. Поэтому $AB = AO = OB = 6$ см. 8. Периметр треугольника $AOB$ равен $AO + OB + AB = 6 + 6 + 6 = 18$ см. **Ответ: 18 см**