18. Решите неравенство:

### Задание 18 **а)** $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$ $3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^{-1} < 28$ $3^x(9 + \frac{1}{3}) < 28$ $3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$ $3^x < 3^1 \implies x < 1$ **Ответ:** $(-\infty; 1)$ **б)** $(\frac{2}{3})^{x-1} + (\frac{2}{3})^{x-2} \ge 2,5$ $(\frac{2}{3})^{x} \cdot (\frac{2}{3})^{-1} + (\frac{2}{3})^{x} \cdot (\frac{2}{3})^{-2} \ge 2,5$ $(\frac{2}{3})^{x} \cdot \frac{3}{2} + (\frac{2}{3})^{x} \cdot \frac{9}{4} \ge 2,5$ $(\frac{2}{3})^{x} \cdot (\frac{6}{4} + \frac{9}{4}) \ge 2,5$ $(\frac{2}{3})^{x} \cdot \frac{15}{4} \ge \frac{5}{2}$ $(\frac{2}{3})^{x} \ge \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{2}{3}$ $(\frac{2}{3})^{x} \ge (\frac{2}{3})^1 \implies x \le 1$ (так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, знак меняется) **Ответ:** $(-\infty; 1]$ **в)** $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \ge 448$ $2^{2x} \cdot 2^{-1} + 2^{2x} \cdot 2^{-2} + 2^{2x} \cdot 2^{-3} \ge 448$ $2^{2x} \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}) \ge 448$ $2^{2x} \cdot \frac{4+2+1}{8} \ge 448$ $2^{2x} \cdot \frac{7}{8} \ge 448$ $2^{2x} \ge 448 \cdot \frac{8}{7} = 64 \cdot 8 = 512$ $2^{2x} \ge 2^9 \implies 2x \ge 9 \implies x \ge 4,5$ **Ответ:** $[4,5; +\infty)$ **г)** $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} \le 9$ $2^x \cdot 4 - 2^x \cdot 2 + 2^x \cdot 0,5 - 2^x \cdot 0,25 \le 9$ $2^x \cdot (4 - 2 + 0,5 - 0,25) \le 9$ $2^x \cdot 2,25 \le 9$ $2^x \le \frac{9}{2,25} = 4$ $2^x \le 2^2 \implies x \le 2$ **Ответ:** $(-\infty; 2]$ ### Задание 19 **а)** $9^x - 12 \cdot 3^x + 27 < 0$ Пусть $3^x = t, t > 0$. Получаем $t^2 - 12t + 27 < 0$ Корни: $t_1 = 3, t_2 = 9$. $(t-3)(t-9) < 0 \implies 3 < t < 9$ $3^1 < 3^x < 3^2 \implies 1 < x < 2$ **Ответ:** $(1; 2)$ **б)** $4^x - 5 \cdot 2^{x+1} + 16 > 0$ $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 > 0$. Пусть $2^x = t, t > 0$. $t^2 - 10t + 16 > 0$. Корни $2, 8$. $(t-2)(t-8) > 0 \implies t < 2$ или $t > 8$ $2^x < 2^1 \implies x < 1$ или $2^x > 2^3 \implies x > 3$ **Ответ:** $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ **в)** $4^x - 2^x - 2 \ge 0$. Пусть $2^x = t, t > 0$. $t^2 - t - 2 \ge 0$. Корни $2, -1$. $(t-2)(t+1) \ge 0$ Учитывая $t > 0$, получаем $t \ge 2 2^x \ge 2^1 \implies x \ge 1$ **Ответ:** $[1; +\infty)$ **г)** $25^x - 3 \cdot 5^x - 10 \le 0$. Пусть $5^x = t, t > 0$. $t^2 - 3t - 10 \le 0$. Корни $5, -2$. $(t-5)(t+2) \le 0$ Учитывая $t > 0$, получаем $0 < t \le 5$ $5^0 < 5^x \le 5^1$ (здесь $5^x > 0$ всегда) $5^x \le 5^1 \implies x \le 1$ **Ответ:** $(-\infty; 1]$