Найди площадь трапеции, если основания равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{\sqrt{65}}{9}$.

Обозначим основания трапеции $a = 9$ и $b = 54$, боковую сторону $c = 27$, а косинус угла между боковой стороной и основанием $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{65}}{9}$. Высоту трапеции $h$ можно найти, используя синус угла $\alpha$, который связан с косинусом через основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Тогда $\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{65}{81}} = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9}$. Высота трапеции $h$ может быть найдена как $h = c \cdot \sin(\alpha) = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12$. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{9 + 54}{2} \cdot 12 = \frac{63}{2} \cdot 12 = 63 \cdot 6 = 378$. **Ответ: Площадь трапеции равна 378.**