Докажи, что AD = A₁D₁ в треугольниках ABC и A₁B₁C₁, если AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁, D ∈ BC и DC = 2BD, D₁ ∈ B₁C₁ и D₁C₁ = 2B₁D₁.

Чтобы доказать, что $AD = A_1D_1$, нужно использовать свойства подобных треугольников. 1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Из условия задачи известно, что $AC = A_1C_1$, $AB = A_1B_1$ и $\angle A = \angle A_1$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 2. Так как $DC = 2BD$, то $BD = \frac{1}{3}BC$ и $DC = \frac{2}{3}BC$. Аналогично, $B_1D_1 = \frac{1}{3}B_1C_1$ и $D_1C_1 = \frac{2}{3}B_1C_1$. 3. Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, то $BC = B_1C_1$. Следовательно, $BD = B_1D_1$ и $DC = D_1C_1$. 4. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$. У них $AB = A_1B_1$, $BD = B_1D_1$ и $\angle B = \angle B_1$ (так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$). Значит, треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$ равны по первому признаку равенства треугольников. 5. Из равенства треугольников $ABD$ и $A_1B_1D_1$ следует, что $AD = A_1D_1$. **Ответ: $AD = A_1D_1$**