Выполни все задания по геометрии: найди стороны параллелограмма, углы параллелограмма, углы прямоугольной трапеции, диагонали прямоугольника, раздели отрезок в отношении 3:5, найди углы ромба.

1. Пусть сторона BC равна $x$ см, тогда сторона AB равна $2x$ см. Периметр параллелограмма равен $2(AB + BC) = 36$ см. Получаем уравнение: $$2(2x + x) = 36$$ $$6x = 36$$ $$x = 6$$ Значит, BC = 6 см, AB = 12 см. **Ответ: BC = 6 см, AB = 12 см** 2. Пусть угол A равен $y$, тогда угол B равен $y + 38$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. Значит, $$y + y + 38 = 180$$ $$2y = 142$$ $$y = 71$$ Тогда угол A равен 71°, угол B равен $71 + 38 = 109$°. Углы параллелограмма, противолежащие друг другу, равны. Значит, угол C равен 71°, угол D равен 109°. **Ответ: A = 71°, B = 109°, C = 71°, D = 109°** 3. В прямоугольной трапеции один угол равен 140°. Так как трапеция прямоугольная, один из углов равен 90°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Тогда второй угол равен $180 - 140 = 40$°. И четвёртый угол равен 90°. **Ответ: 140°, 90°, 40°, 90°** 4. В прямоугольнике все углы прямые, то есть равны 90°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда угол ABD равен $180 - 90 - 30 = 60$°. Катет AD лежит против угла в 30°, значит гипотенуза AB в два раза больше катета AD. AB = $2 * 24 = 48$ см. По теореме Пифагора найдём BD: $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{48^2 + 24^2} = \sqrt{2304 + 576} = \sqrt{2880} = 24\sqrt{5}$$ Так как ABCD - прямоугольник, то диагонали равны. AC = BD = $24\sqrt{5}$ см. **Ответ: BD = $24\sqrt{5}$ см, AC = $24\sqrt{5}$ см** 5. Начертите произвольный отрезок. С помощью циркуля и линейки разделите его в отношении 3:5. 1. Начертите произвольный отрезок AB. 2. Из точки A проведите луч под произвольным углом к AB. 3. На луче отложите циркулем 8 равных отрезков (3 + 5 = 8). 4. Соедините последнюю точку (8-ю) с точкой B. 5. Через 3-ю точку на луче проведите прямую, параллельную прямой, соединяющей 8-ю точку с B. Эта прямая разделит отрезок AB в отношении 3:5. 6. В ромбе MHPK диагонали пересекаются в точке E. Угол PKE равен 40°. * Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому угол PKM = 2 * угол PKE = 2 * 40° = 80°. * В ромбе противоположные углы равны, значит угол MHP = углу PKM = 80°. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, поэтому угол HMP = углу HKP = 180° - 80° = 100°. **Ответ: углы ромба равны 80°, 100°, 80°, 100°**