Реши задачи по геометрии про трапецию из теста 4

1. Рассмотрим трапецию $ABCD$ с диагональю $AC$, являющейся биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $AC$ - биссектриса, то $\angle DAC = \angle CAB$. Если $\angle DAC = \angle CAB$, то $\triangle ABC$ - равнобедренный. 2. Сумма внешних углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, внешний угол $\angle KAB$ и внутренний $\angle DAB$ в сумме дают $180^\circ$. Тогда $\angle DAB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. Аналогично, $\angle CDM + \angle CDA = 180^\circ$, следовательно $\angle CDA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. В трапеции $ABCD$ углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ равны. Тогда $\angle ABC + \angle BCD = 360^\circ - \angle DAB - \angle CDA = 360^\circ - 75^\circ - 50^\circ = 235^\circ$. Следовательно, $\angle BCD = 235^\circ / 2 = 117.5^\circ$. 3. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $D$ и острым углом $\angle A = 30^\circ$. Угол $AQN$ образован биссектрисами углов $A$ и $C$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает основание $BC$ в точке $Q$, а биссектриса угла $C$ пересекает $AD$ в точке $N$. Тогда $\angle QAN = \angle A / 2 = 30^\circ / 2 = 15^\circ$. Найдем угол $C$. Т.к. в трапеции углы прилежащие к боковой стороне в сумме дают $180^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - \angle D = 90^\circ$ и $\angle B = 180^\circ - \angle A = 150^\circ$, значит, $\angle QCN = \angle C / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике $AQNC$ равна $360^\circ$, следовательно, $\angle AQN = 180^\circ - (\angle QAN + \angle QCN) = 180^\circ - (15^\circ + 45^\circ) = 120^\circ$. 4. Пусть в прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом $\angle D$ сторона $AB$ образует с основанием $AD$ угол $45^\circ$. Высота трапеции равна меньшему основанию, т.е. $CD = BC = 7$ см. Тогда $\triangle ABX$ — прямоугольный, т.к. $BX$ - высота. В прямоугольном треугольнике $ABX$ угол $\angle BAX = 45^\circ$, следовательно, $\angle ABX = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, $\triangle ABX$ - равнобедренный, тогда $AX = BX = 7$ см. Следовательно, основание $AD = AX + XD = 7 + 7 = 14$ см. 5. В трапеции $ABCD$ стороны $AB$, $BC$ и $CD$ равны. Основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Т.е. $AD = 2BC$. Пусть $\angle CDA = x$, тогда $\angle DAB = 180^\circ - x$. Т.к. $AB = BC = CD$, то $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$ - равнобедренные. Тогда $\angle BAC = \angle BCA$ и $\angle CBD = \angle CDB$.