Составь квадратные уравнения по коэффициентам, покажи, что числа являются корнями уравнений и реши уравнения.

24. a) Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. * Если $a = 3, b = 8, c = 2$, то уравнение: $3x^2 + 8x + 2 = 0$. * Если $a = 8, b = 2, c = 3$, то уравнение: $8x^2 + 2x + 3 = 0$. б) Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. * Если $a = 1, b = 0.5, c = -1$, то уравнение: $x^2 + 0.5x - 1 = 0$. * Если $a = -1, b = 1, c = 0.5$, то уравнение: $-x^2 + x + 0.5 = 0$. в) Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$. * Если $a = 5, b = 0, c = -3$, то уравнение: $5x^2 - 3 = 0$. * Если $a = -3, b = 5, c = 0$, то уравнение: $-3x^2 + 5x = 0$. Может ли коэффициент $a$ в квадратном уравнении быть равным 0? Нет, не может, иначе уравнение не будет квадратным. Докажем, что: a) Числа -7 и 5 являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$: Подставим $x = -7$: $$(-7)^2 + 2(-7) - 35 = 49 - 14 - 35 = 0$$ Подставим $x = 5$: $$5^2 + 2(5) - 35 = 25 + 10 - 35 = 0$$ б) Число $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$, а число -2 не является: Подставим $x = \frac{2}{3}$: $$3(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - 2 = 3(\frac{4}{9}) + \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$$ Подставим $x = -2$: $$3(-2)^2 + (-2) - 2 = 3(4) - 2 - 2 = 12 - 4 = 8 \neq 0$$ в) Числа $1-\sqrt{2}$ и $1+\sqrt{2}$ являются корнями уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$: Подставим $x = 1-\sqrt{2}$: $$(1-\sqrt{2})^2 - 2(1-\sqrt{2}) - 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 0$$ Подставим $x = 1+\sqrt{2}$: $$(1+\sqrt{2})^2 - 2(1+\sqrt{2}) - 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 3 + 2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0$$ г) Число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, а число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ нет: Подставим $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$: $$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} - \frac{2 + 2\sqrt{5}}{4} - \frac{4}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5} - 2 - 2\sqrt{5} - 4}{4} = \frac{0}{4} = 0$$ Подставим $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$: $$(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} - \frac{2\sqrt{5}-2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 2 - 4}{4} = \frac{4 - 4\sqrt{5}}{4} = 1 - \sqrt{5} \neq 0$$ Решим уравнения: * $(x - 2)^2 = 3$ $$x - 2 = \pm \sqrt{3}$$ $$x = 2 \pm \sqrt{3}$$ * $(x + 7)^2 = 0$ $$x + 7 = 0$$ $$x = -7$$ * $(x - 6)^2 = -9$ Уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным. * $(x + 5)^2 = 4$ $$x + 5 = \pm 2$$ $$x = -5 \pm 2$$ $$x_1 = -3, x_2 = -7$$