Докажи тождество: b/(b-a) + (a²-b²)/(ab+a²) * b²/(b-a)² = -b/a

Привет! Давай докажем это тождество. Нам нужно показать, что левая часть уравнения равна правой. Исходное выражение: $$\frac{b}{b-a} + \frac{a^2-b^2}{ab+a^2} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2} = -\frac{b}{a}$$ Преобразуем левую часть: 1. **Упростим второе слагаемое:** * Разложим $a^2 - b^2$ как $(a - b)(a + b)$. * Вынесем $a$ за скобки в знаменателе $ab + a^2$, получим $a(b + a)$. * Тогда второе слагаемое будет выглядеть так: $$\frac{(a-b)(a+b)}{a(b+a)} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2}$$ 2. **Сократим $(a + b)$:** $$\frac{(a-b)}{a} \cdot \frac{b^2}{(b-a)^2}$$ 3. **Изменим знак у $(a-b)$ на $(b-a)$ и сократим с $(b-a)^2$ :** $$-\frac{1}{a} \cdot \frac{b^2}{(b-a)}$$ $$-\frac{b^2}{a(b-a)}$$ 4. **Теперь вернемся к исходному выражению и объединим дроби:** $$\frac{b}{b-a} - \frac{b^2}{a(b-a)}$$ 5. **Приведем к общему знаменателю:** $$\frac{ab - b^2}{a(b-a)}$$ 6. **Вынесем $b$ за скобки в числителе:** $$\frac{b(a - b)}{a(b-a)}$$ 7. **Сократим $(a - b)$ и $(b - a)$, изменив знак:** $$-\frac{b}{a}$$ Таким образом, левая часть уравнения равна правой: $$-\frac{b}{a} = -\frac{b}{a}$$ **Ответ: Тождество доказано.**