Найди скорость катера в стоячей воде, если он прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения, на весь путь затратил в 2 раза больше времени, чем понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде и скорость течения равна 5 км/ч.

Пусть $x$ км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению равна $(x + 5)$ км/ч, а против течения – $(x - 5)$ км/ч. Время, которое катер затратил на путь по течению, равно $\frac{75}{x + 5}$ часов, а против течения – $\frac{75}{x - 5}$ часов. Время, которое понадобилось бы катеру, чтобы пройти 80 км в стоячей воде, равно $\frac{80}{x}$ часов. Из условия задачи следует уравнение: $$\frac{75}{x + 5} + \frac{75}{x - 5} = 2 \cdot \frac{80}{x}$$ Решим уравнение: $$\frac{75(x - 5) + 75(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{160}{x}$$ $$\frac{75x - 375 + 75x + 375}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$$ $$\frac{150x}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$$ $$150x^2 = 160(x^2 - 25)$$ $$150x^2 = 160x^2 - 4000$$ $$10x^2 = 4000$$ $$x^2 = 400$$ $$x = \pm 20$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч. **Ответ: 20 км/ч**