Докажи, что AO/OC = BO/OD и найди отрезок AB, если CD = 32 см, AC:AO = 7: 3.

1) Нужно доказать, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$. Т.к. плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то прямые $AC$ и $BD$ лежат в разных плоскостях и не параллельны. Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. Угол $AOB$ равен углу $COD$ как вертикальные. Т.к. плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то прямая $AB$ параллельна прямой $CD$. Следовательно, угол $OAB$ равен углу $OCD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Таким образом, треугольники $AOB$ и $COD$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$. 2) Найдем отрезок $AB$, если $CD = 32$ см, $AC:AO = 7:3$. Пусть $AO = 3x$, тогда $AC = 7x$. Следовательно, $OC = AC - AO = 7x - 3x = 4x$. Значит, $\frac{AO}{OC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$. Из подобия треугольников $AOB$ и $COD$ следует, что $\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC}$. Тогда $\frac{AB}{32} = \frac{3}{4}$. $AB = \frac{3}{4} \cdot 32 = 3 \cdot 8 = 24$ см. **Ответ: 24 см**