Реши задачи 429, 430 и 431 по алгебре.

Задача 429: Пусть $v$ - скорость поезда в начале пути (км/ч). Тогда время, которое поезд должен был потратить на перегон, равно $\frac{70}{v}$. По условию, поезд увеличил скорость на 10 км/ч, то есть его скорость стала $v + 10$ км/ч. Время, которое он потратил на перегон с увеличенной скоростью, равно $\frac{70}{v+10}$. Поезд был задержан на 21 минуту, что составляет $\frac{21}{60} = 0.35$ часа. Уравнение выглядит так: $$\frac{70}{v} - \frac{70}{v+10} = 0.35$$ Умножим обе части уравнения на $v(v+10)$: $$70(v+10) - 70v = 0.35v(v+10)$$ $$70v + 700 - 70v = 0.35v^2 + 3.5v$$ $$0.35v^2 + 3.5v - 700 = 0$$ Разделим обе части на 0.35: $$v^2 + 10v - 2000 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 10^2 - 4(1)(-2000) = 100 + 8000 = 8100$$ $$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{8100}}{2} = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$$ $$v_2 = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$$ Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $v = 40$ км/ч. **Ответ: Скорость поезда в начале пути была 40 км/ч.** Задача 430: Пусть $x$ - количество дней, которое требовалось выполнить заказ. Тогда ежедневный объем работы составлял $\frac{60}{x}$ костюмов в день. Мастерская стала шить на 1 костюм в день больше, то есть $\frac{60}{x} + 1$ костюмов в день. Вся работа была выполнена на 3 дня раньше, то есть за $x - 3$ дня. Уравнение: $$(\frac{60}{x} + 1)(x - 3) = 60$$ $$60 - \frac{180}{x} + x - 3 = 60$$ $$x - \frac{180}{x} - 3 = 0$$ $$x^2 - 3x - 180 = 0$$ $$D = (-3)^2 - 4(1)(-180) = 9 + 720 = 729$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{729}}{2} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ Так как количество дней не может быть отрицательным, выбираем $x = 15$ дней. **Ответ: Требовалось 15 дней.** Задача 431: Пусть $v$ - собственная скорость лодки (км/ч). Тогда скорость лодки по течению равна $v + 1$ км/ч, а против течения $v - 1$ км/ч. Время, затраченное на движение по течению, равно $\frac{10}{v+1}$ часов, а время, затраченное на движение против течения, равно $\frac{6}{v-1}$ часов. Общее время в пути составляет 2 часа, включая 15-минутную стоянку, то есть 1 час 45 минут или 1.75 часа. Уравнение: $$\frac{10}{v+1} + \frac{6}{v-1} = 1.75$$ Умножим обе части на $(v+1)(v-1)$: $$10(v-1) + 6(v+1) = 1.75(v^2 - 1)$$ $$10v - 10 + 6v + 6 = 1.75v^2 - 1.75$$ $$16v - 4 = 1.75v^2 - 1.75$$ $$1.75v^2 - 16v + 2.25 = 0$$ Умножим обе части на 4: $$7v^2 - 64v + 9 = 0$$ $$D = (-64)^2 - 4(7)(9) = 4096 - 252 = 3844$$ $$v_1 = \frac{64 + \sqrt{3844}}{14} = \frac{64 + 62}{14} = \frac{126}{14} = 9$$ $$v_2 = \frac{64 - 62}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \approx 0.14$$ Так как скорость лодки против течения должна быть положительной, $v > 1$. Поэтому $v = 9$ км/ч. **Ответ: Собственная скорость лодки должна быть 9 км/ч.**