Реши неравенство (x³ - x² - 13x - 3) / (11 - x) ≥ 0 через теорему безу и обозначь точки на координатной прямой.

Привет! Давай решим это неравенство. Сначала перепишем неравенство, чтобы было удобнее: $\frac{x^3 - x^2 - 13x - 3}{11 - x} \ge 0$ **1. Найдем корни числителя:** Нужно решить уравнение $x^3 - x^2 - 13x - 3 = 0$. Здесь нам понадобится теорема Виета или метод подбора рациональных корней. * Проверяем делители свободного члена (-3): ±1, ±3. * Подставляем x = -3: $(-3)^3 - (-3)^2 - 13(-3) - 3 = -27 - 9 + 39 - 3 = 0$. Значит, x = -3 - корень. Теперь разделим многочлен $x^3 - x^2 - 13x - 3$ на $(x + 3)$ столбиком или с помощью схемы Горнера. Получим: $x^3 - x^2 - 13x - 3 = (x + 3)(x^2 - 4x - 1)$ Решаем квадратное уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$: $D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$ $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ Итак, корни числителя: $x_1 = -3$, $x_2 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24$, $x_3 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24$. **2. Найдем корни знаменателя:** $11 - x = 0 \Rightarrow x = 11$ **3. Отметим корни на числовой прямой:** Отмечаем точки -3, $2 - \sqrt{5}$, $2 + \sqrt{5}$ и 11 на числовой прямой. Важно помнить, что точка 11 (корень знаменателя) будет выколотой, так как на неё делить нельзя. Остальные точки будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. **4. Определим знаки на интервалах:** Расставляем знаки, подставляя значения из каждого интервала в исходное неравенство. * $(-\infty, -3]$: Берём x = -4. $(x+3)$ будет отрицательным, $(x - (2-\sqrt{5}))$ будет отрицательным, $(x - (2 + \sqrt{5}))$ будет отрицательным, $(11-x)$ будет положительным. Тогда всё выражение будет $\frac{(-)(-)(-)}{(+)} = (-)$. * $[-3, 2-\sqrt{5}]$: Берём x = -1. $(x+3)$ будет положительным, $(x - (2-\sqrt{5}))$ будет отрицательным, $(x - (2 + \sqrt{5}))$ будет отрицательным, $(11-x)$ будет положительным. Тогда всё выражение будет $\frac{(+)(-)(-)}{(+)} = (+)$. * $[2-\sqrt{5}, 2+\sqrt{5}]$: Берём x = 0. $(x+3)$ будет положительным, $(x - (2-\sqrt{5}))$ будет отрицательным, $(x - (2 + \sqrt{5}))$ будет отрицательным, $(11-x)$ будет положительным. Тогда всё выражение будет $\frac{(+)(-)(-)}{(+)} = (+)$. * $[2+\sqrt{5}, 11]$: Берём x = 5. $(x+3)$ будет положительным, $(x - (2-\sqrt{5}))$ будет положительным, $(x - (2 + \sqrt{5}))$ будет положительным, $(11-x)$ будет положительным. Тогда всё выражение будет $\frac{(+)(+)(+)}{(+)} = (+)$. * $(11, +\infty)$: Берём x = 12. $(x+3)$ будет положительным, $(x - (2-\sqrt{5}))$ будет положительным, $(x - (2 + \sqrt{5}))$ будет положительным, $(11-x)$ будет отрицательным. Тогда всё выражение будет $\frac{(+)(+)(+)}{(-)} = (-)$. **5. Запишем ответ:** Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю: **Ответ:** $x \in [-3; 2-\sqrt{5}] \cup [2+\sqrt{5}; 11)$