Реши неравенства

Конечно, давай разберем эти неравенства! Выглядят сложно, но мы справимся. 1. a) $|x+3|(x-2)(3x-9) < 0$ * Первое, $|x+3|$ всегда больше или равно нулю. Значит, чтобы все выражение было меньше нуля, нужно, чтобы $(x-2)(3x-9) < 0$. * Решаем $(x-2)(3x-9) = 0$. Получаем $x = 2$ и $x = 3$. * Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +\infty)$. * Получается, что решение $x \in (2, 3)$. б) $\frac{3x+1}{x-3} > 0$ * Находим нули числителя и знаменателя: $3x+1 = 0$ и $x-3 = 0$. * Получаем $x = -\frac{1}{3}$ и $x = 3$. * Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty, -\frac{1}{3})$, $(- \frac{1}{3}, 3)$, $(3, +\infty)$. * Решение: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (3, +\infty)$. 2. a) $\begin{cases} \frac{x-5}{x+5} < 0 \\ (x+3)(x-4) > 0 \end{cases}$ * Решаем первое неравенство: $\frac{x-5}{x+5} < 0$. Нули: $x = 5$ и $x = -5$. Интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, 5)$, $(5, +\infty)$. Решение: $x \in (-5, 5)$. * Решаем второе неравенство: $(x+3)(x-4) > 0$. Нули: $x = -3$ и $x = 4$. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 4)$, $(4, +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty)$. * Ищем пересечение решений: $x \in (-5, -3) \cup (4, 5)$. б) $\begin{cases} \frac{2x-4}{x^2-2x-8} < 0 \\ \frac{x^2-9}{2x^2+3} > 0 \end{cases}$ * Первое неравенство: $\frac{2x-4}{x^2-2x-8} < 0$. Раскладываем на множители: $\frac{2(x-2)}{(x-4)(x+2)} < 0$. Нули: $x = 2$, $x = 4$, $x = -2$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 4)$, $(4, +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 4)$. * Второе неравенство: $\frac{x^2-9}{2x^2+3} > 0$. Знаменатель всегда положителен. Решаем $x^2-9 > 0$, то есть $(x-3)(x+3) > 0$. Нули: $x = -3$ и $x = 3$. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$, $(3, +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. * Пересечение решений: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 4)$. 3. б) $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x + 1} < 0$ * Раскладываем на множители: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x+1)^2} < 0$. Нули: $x = 3$, $x = -3$, $x = -1$. $(x+1)^2$ всегда положительный, кроме $x = -1$. * Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, 3)$, $(3, +\infty)$. Решение: $x \in (-3, -1) \cup (-1, 3)$. г) $\frac{x+x-12}{x-3} > 0$ * Упрощаем: $\frac{2x-12}{x-3} > 0$, то есть $\frac{2(x-6)}{x-3} > 0$. Нули: $x = 6$ и $x = 3$. * Интервалы: $(-\infty, 3)$, $(3, 6)$, $(6, +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (6, +\infty)$. 4. в) $\begin{cases} \frac{5x+2}{9} > \frac{5}{5x+2} \\ 12x-1 < 7x+2 \end{cases}$ * Первое неравенство: $\frac{5x+2}{9} - \frac{5}{5x+2} > 0$. Приводим к общему знаменателю: $\frac{(5x+2)^2 - 45}{9(5x+2)} > 0$, то есть $\frac{25x^2 + 20x + 4 - 45}{9(5x+2)} > 0$, или $\frac{25x^2 + 20x - 41}{9(5x+2)} > 0$. * Находим корни квадратного уравнения $25x^2 + 20x - 41 = 0$. $D = 20^2 - 4 mes 25 mes (-41) = 400 + 4100 = 4500$. $x_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{4500}}{50} = \frac{-20 \pm 30\sqrt{5}}{50} = \frac{-2 \pm 3\sqrt{5}}{5}$. * Нули: $x = \frac{-2 + 3\sqrt{5}}{5}$, $x = \frac{-2 - 3\sqrt{5}}{5}$, $x = -\frac{2}{5}$. Интервалы и решение зависят от расположения этих нулей. * Второе неравенство: $12x - 1 < 7x + 2$, то есть $5x < 3$, или $x < \frac{3}{5}$. * Совместное решение зависит от первого неравенства, которое сложнее. **Ответ:** Выше решение всех заданий.