Построй график функции y = x² - 4x - 5 и найди с помощью графика значение y при x = 0,5.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. 1. Построим график функции $y = x^2 - 4x - 5$. Для этого найдем вершину параболы и несколько точек для построения. * Вершина параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2$. Тогда $y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина параболы в точке $(2, -9)$. * Теперь найдём значения $y$ при разных значениях $x$. а) $y$ при $x = 0,5$: $y = (0,5)^2 - 4(0,5) - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75$ б) значения $x$, при которых $y = 3$: $x^2 - 4x - 5 = 3$, то есть $x^2 - 4x - 8 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$$ Итак, $x \approx 2 \pm 2 \cdot 1,73 = 2 \pm 3,46$. $x_1 \approx 5,46$ и $x_2 \approx -1,46$. в) Нули функции: $x^2 - 4x - 5 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$ Тогда $x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$. Промежутки, где $y > 0$: $x < -1$ и $x > 5$. Промежутки, где $y < 0$: $-1 < x < 5$. г) Промежуток, в котором функция возрастает: $x > 2$ (справа от вершины параболы). :::div .chart-container @chart-1::: 2. Найдём наименьшее значение функции $y = x^2 + 2x - 24$. * Найдём вершину параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1$. Тогда $y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 24 = 1 - 2 - 24 = -25$. * Наименьшее значение функции $y = -25$. 3. Найдём область значений функции $y = x^2 - 2x - 8$, где $x \in [-1; 3]$. * Найдём вершину параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1$. Тогда $y_в = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$. * Теперь найдём значения на концах отрезка: * $y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$ * $y(3) = (3)^2 - 2(3) - 8 = 9 - 6 - 8 = -5$ * Область значений функции: $[-9; -5]$. 4. Определим, пересекаются ли парабола $y = \frac{1}{3}x^2$ и прямая $y = 6x - 15$. Если точки пересечения существуют, найдём их координаты. * Приравняем уравнения: $\frac{1}{3}x^2 = 6x - 15$. Умножим обе части на 3: $x^2 = 18x - 45$, то есть $x^2 - 18x + 45 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4(1)(45)}}{2(1)} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 180}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}$$ Тогда $x_1 = \frac{18 + 12}{2} = 15$ и $x_2 = \frac{18 - 12}{2} = 3$. * Найдём соответствующие значения $y$: * $y_1 = 6(15) - 15 = 90 - 15 = 75$ * $y_2 = 6(3) - 15 = 18 - 15 = 3$ * Точки пересечения: $(15, 75)$ и $(3, 3)$. 5. Найдём значение выражения $\sqrt[3]{-4\frac{17}{27}} + 6\sqrt[3]{\frac{13}{81}}$. * Преобразуем выражение: $\sqrt[3]{-\frac{125}{27}} + 6\sqrt[3]{\frac{13}{81}} = \sqrt[3]{(-\frac{5}{3})^3} + 6\sqrt[3]{\frac{13}{81}} = -\frac{5}{3} + 6\sqrt[3]{\frac{13}{81}}$. * $\sqrt[3]{\frac{13}{81}} = \sqrt[3]{\frac{13}{3^4}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{13}{3}} $ * Тогда $- \frac{5}{3} + 6 \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{13}{3}} = - \frac{5}{3} + 2\sqrt[3]{\frac{13}{3}}$ * Теперь посчитаем примерно: $2\sqrt[3]{\frac{13}{3}} \approx 2\sqrt[3]{4.33} \approx 2 \cdot 1.63 \approx 3.26$ * $-\frac{5}{3} + 3.26 \approx -1.67 + 3.26 \approx 1.59$ **Ответы:** 1. а) $y = -6,75$ при $x = 0,5$; б) $x \approx 5,46$ и $x \approx -1,46$ при $y = 3$; в) нули функции $x = 5$ и $x = -1$, $y > 0$ при $x < -1$ и $x > 5$, $y < 0$ при $-1 < x < 5$; г) функция возрастает при $x > 2$. 2. Наименьшее значение функции $y = -25$. 3. Область значений функции: $[-9; -5]$. 4. Точки пересечения: $(15, 75)$ и $(3, 3)$. 5. Значение выражения: $1,59$