Реши задачи по теме производная функции. Например, найди y'(-2), если y = x²(3x²-2)

A1. Чтобы найти $y'(-2)$, нужно сначала найти производную функции $y = x^2(3x^2 - 2)$. $y = x^2(3x^2 - 2) = 3x^4 - 2x^2$ $y' = 12x^3 - 4x$ Теперь подставим $x = -2$: $y'(-2) = 12(-2)^3 - 4(-2) = 12(-8) + 8 = -96 + 8 = -88$ **Правильный ответ: В** *Перевод:* A1. To find $y'(-2)$, first we need to find the derivative of the function $y = x^2(3x^2 - 2)$. $y = x^2(3x^2 - 2) = 3x^4 - 2x^2$ $y' = 12x^3 - 4x$ Now substitute $x = -2$: $y'(-2) = 12(-2)^3 - 4(-2) = 12(-8) + 8 = -96 + 8 = -88$ **Correct answer: В** A2. Чтобы найти $f'(x)$, если $f(x) = -x\sqrt{x}$, нужно найти производную функции. Сначала запишем функцию как $f(x) = -x^{3/2}$. Теперь найдем производную: $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{1/2} = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$ **Правильный ответ: Г** *Перевод:* A2. To find $f'(x)$, if $f(x) = -x\sqrt{x}$, we need to find the derivative of the function. First, let's write the function as $f(x) = -x^{3/2}$. Now let's find the derivative: $f'(x) = -\frac{3}{2}x^{1/2} = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$ **Correct answer: Г** A3. Чтобы вычислить $f'(\frac{\pi}{2})$ для функции $f(x) = (2x - 5) \cdot \sin(3x)$, сначала найдем производную $f'(x)$. Используем правило произведения: $f'(x) = (2) \cdot \sin(3x) + (2x - 5) \cdot (3 \cos(3x))$. Теперь подставим $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + (2(\frac{\pi}{2}) - 5) \cdot 3 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 2(-1) + (\pi - 5) \cdot 3(0) = -2$ **Правильный ответ: B** *Перевод:* A3. To calculate $f'(\frac{\pi}{2})$ for the function $f(x) = (2x - 5) \cdot \sin(3x)$, first find the derivative $f'(x)$. Using the product rule: $f'(x) = (2) \cdot \sin(3x) + (2x - 5) \cdot (3 \cos(3x))$. Now substitute $x = \frac{\pi}{2}$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + (2(\frac{\pi}{2}) - 5) \cdot 3 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 2(-1) + (\pi - 5) \cdot 3(0) = -2$ **Correct answer: B** A4. Чтобы найти максимум функции $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x - 4\frac{1}{2}$, сначала найдем производную $y'$ и приравняем её к нулю. $y' = -x^2 + x + 6$ Решим уравнение $-x^2 + x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 6 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$. $x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$, $x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$. Теперь найдем вторую производную: $y'' = -2x + 1$. $y''(3) = -2(3) + 1 = -5 < 0$, значит, $x = 3$ - точка максимума. $y(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3) - \frac{9}{2} = -9 + \frac{9}{2} + 18 - \frac{9}{2} = 9$. **Правильный ответ: A** *Перевод:* A4. To find the maximum of the function $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x - 4\frac{1}{2}$, first find the derivative $y'$ and set it to zero. $y' = -x^2 + x + 6$ Solve the equation $-x^2 + x + 6 = 0$. Multiply by -1: $x^2 - x - 6 = 0$. Find the roots of the quadratic equation: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$. $x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$, $x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$. Now find the second derivative: $y'' = -2x + 1$. $y''(3) = -2(3) + 1 = -5 < 0$, so $x = 3$ is a maximum point. $y(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3) - \frac{9}{2} = -9 + \frac{9}{2} + 18 - \frac{9}{2} = 9$. **Correct answer: A** A5. Чтобы найти сумму целых чисел, принадлежащих промежутку возрастания функции $f(x) = \frac{x+1}{x^2-2x}$, сначала найдем производную $f'(x)$. $f'(x) = \frac{(1)(x^2-2x) - (x+1)(2x-2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{x^2-2x - (2x^2 - 2x + 2x - 2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{x^2-2x - 2x^2 - 2}{(x^2-2x)^2} = \frac{-x^2 - 2x - 2}{(x^2-2x)^2}$. Так как $(x^2-2x)^2$ всегда положительно (за исключением точек, где $x = 0$ или $x = 2$), знак $f'(x)$ определяется знаком $-x^2 - 2x - 2$. Это выражение всегда отрицательно, так как дискриминант $D = (-2)^2 - 4(-1)(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на всей своей области определения. Функция не возрастает нигде. Значит, сумма целых чисел равна 0. **Правильный ответ: B** *Перевод:* A5. To find the sum of integers belonging to the interval of increase of the function $f(x) = \frac{x+1}{x^2-2x}$, first find the derivative $f'(x)$. $f'(x) = \frac{(1)(x^2-2x) - (x+1)(2x-2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{x^2-2x - (2x^2 - 2x + 2x - 2)}{(x^2-2x)^2} = \frac{x^2-2x - 2x^2 - 2}{(x^2-2x)^2} = \frac{-x^2 - 2x - 2}{(x^2-2x)^2}$. Since $(x^2-2x)^2$ is always positive (except at points where $x = 0$ or $x = 2$), the sign of $f'(x)$ is determined by the sign of $-x^2 - 2x - 2$. This expression is always negative, since the discriminant $D = (-2)^2 - 4(-1)(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$. Therefore, the function $f(x)$ decreases throughout its domain. The function does not increase anywhere. So the sum of integers is 0. **Correct answer: B** A6. Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x$ в точке $M(1; -3)$, нужно найти производную функции и вычислить её значение в точке $x = 1$. $f'(x) = 2x - 4$ $f'(1) = 2(1) - 4 = -2$ **Правильный ответ: B** *Перевод:* A6. To find the slope of the tangent to the graph of the function $f(x) = x^2 - 4x$ at the point $M(1; -3)$, you need to find the derivative of the function and calculate its value at the point $x = 1$. $f'(x) = 2x - 4$ $f'(1) = 2(1) - 4 = -2$ **Correct answer: B** A7. Чтобы выбрать уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 3x + 5$, если касательная проходит через точку $(0; 1)$ и абсцисса точки касания отрицательна, сначала найдем производную $f'(x)$. $f'(x) = 2x + 3$ Уравнение касательной в точке $x_0$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Пусть $x_0$ - абсцисса точки касания. Тогда $f(x_0) = x_0^2 + 3x_0 + 5$. Уравнение касательной: $y = (2x_0 + 3)(x - x_0) + x_0^2 + 3x_0 + 5$. Так как касательная проходит через точку $(0; 1)$, подставим эти координаты в уравнение: $1 = (2x_0 + 3)(0 - x_0) + x_0^2 + 3x_0 + 5$ $1 = -2x_0^2 - 3x_0 + x_0^2 + 3x_0 + 5$ $1 = -x_0^2 + 5$ $x_0^2 = 4$ $x_0 = \pm 2$ Так как абсцисса точки касания отрицательна, $x_0 = -2$. Тогда $f'(-2) = 2(-2) + 3 = -1$. Уравнение касательной: $y = -1(x - (-2)) + (-2)^2 + 3(-2) + 5 = -x - 2 + 4 - 6 + 5 = -x + 1$. **Правильный ответ: B** *Перевод:* A7. To choose the equation of the tangent to the graph of the function $f(x) = x^2 + 3x + 5$, if the tangent passes through the point $(0; 1)$ and the abscissa of the point of tangency is negative, first find the derivative $f'(x)$. $f'(x) = 2x + 3$ The equation of the tangent at the point $x_0$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Let $x_0$ be the abscissa of the point of tangency. Then $f(x_0) = x_0^2 + 3x_0 + 5$. The equation of the tangent: $y = (2x_0 + 3)(x - x_0) + x_0^2 + 3x_0 + 5$. Since the tangent passes through the point $(0; 1)$, substitute these coordinates into the equation: $1 = (2x_0 + 3)(0 - x_0) + x_0^2 + 3x_0 + 5$ $1 = -2x_0^2 - 3x_0 + x_0^2 + 3x_0 + 5$ $1 = -x_0^2 + 5$ $x_0^2 = 4$ $x_0 = \pm 2$ Since the abscissa of the point of tangency is negative, $x_0 = -2$. Then $f'(-2) = 2(-2) + 3 = -1$. The equation of the tangent: $y = -1(x - (-2)) + (-2)^2 + 3(-2) + 5 = -x - 2 + 4 - 6 + 5 = -x + 1$. **Correct answer: B** A8. Чтобы определить координату точки в момент времени, когда скорость движения равна 1, сначала найдем скорость как производную от координаты по времени. $x(t) = -t^2 + 9t + 8$ $v(t) = x'(t) = -2t + 9$ Теперь приравняем скорость к 1 и найдем время $t$: $1 = -2t + 9$ $2t = 8$ $t = 4$ Теперь найдем координату точки в момент времени $t = 4$: $x(4) = -(4)^2 + 9(4) + 8 = -16 + 36 + 8 = 28$ **Правильный ответ: Г** *Перевод:* A8. To determine the coordinate of the point at the moment when the speed of movement is equal to 1, first find the speed as the derivative of the coordinate with respect to time. $x(t) = -t^2 + 9t + 8$ $v(t) = x'(t) = -2t + 9$ Now equate the speed to 1 and find the time $t$: $1 = -2t + 9$ $2t = 8$ $t = 4$ Now find the coordinate of the point at the moment $t = 4$: $x(4) = -(4)^2 + 9(4) + 8 = -16 + 36 + 8 = 28$ **Correct answer: Г** A9. Чтобы найти значения $x$, при которых $f'(x) \leq 0$, нужно определить, где функция убывает. По графику видно, что функция убывает на промежутках $[-2; -1]$ и $[3; 5]$. **Правильный ответ: Г** *Перевод:* A9. To find the values of $x$ for which $f'(x) \leq 0$, you need to determine where the function decreases. From the graph, it is clear that the function decreases on the intervals $[-2; -1]$ and $[3; 5]$. **Correct answer: Г**