Докажи, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(-1;-2),B(2;-5),C(1;-2),D(-2;1) является параллелограммом

Question

Вопрос:

Докажи, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(-1;-2),B(2;-5),C(1;-2),D(-2;1) является параллелограммом

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай докажем, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-1;-2)$, $B(2;-5)$, $C(1;-2)$, $D(-2;1)$ является параллелограммом, и найдём точку пересечения его диагоналей. Чтобы доказать, что $ABCD$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. Это можно сделать, сравнив векторы, образованные этими сторонами. Если векторы равны, то стороны параллельны и имеют одинаковую длину. 1. Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$: $\vec{AB} = B - A = (2 - (-1); -5 - (-2)) = (3; -3)$; $\vec{DC} = C - D = (1 - (-2); -2 - 1) = (3; -3)$. Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. 2. Найдем векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$: $\vec{AD} = D - A = (-2 - (-1); 1 - (-2)) = (-1; 3)$; $\vec{BC} = C - B = (1 - 2; -2 - (-5)) = (-1; 3)$. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, то стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны. Так как противоположные стороны $ABCD$ попарно параллельны и равны, то $ABCD$ — параллелограмм. Теперь найдём точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В параллелограмме диагонали пересекаются в середине каждой из них. Поэтому найдём середину диагонали $AC$ (или $BD$ — результат будет одинаковым). Координаты середины отрезка $AC$ находятся как среднее арифметическое координат концов: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0$; $y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + (-2)}{2} = -2$. Таким образом, точка пересечения диагоналей — $M(0; -2)$. **Ответ:** $ABCD$ — параллелограмм, точка пересечения диагоналей: $M(0; -2)$.

Докажи, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(-1;-2),B(2;-5),C(1;-2),D(-2;1) является параллелограммом

Ответ ассистента

Другие решения