Реши задания из варианта I: определи смежный угол, выбери правильное утверждение о параллельных прямых, найди третий угол треугольника, определи равнобедренные треугольники, найди периметр треугольника, докажи, что точка K является серединой BC, найди угол BKM

Первый вариант, часть 1. 1) Если один из смежных углов равен $40^\circ$, то другой угол будет $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. **Правильный ответ: Б** 2) Давай посмотрим на каждое утверждение: А. Это верно, так как накрест лежащие углы равны, когда прямые параллельны. Б. Не всегда верно, нужно, чтобы равны были две стороны и угол *между* ними. В. Неверно, односторонние углы в сумме должны давать $180^\circ$. Г. Тоже не всегда верно, как и в пункте Б. Д. Неверно, вертикальные углы всегда равны, даже если прямые не параллельны. **Правильный ответ: А** 3) Сумма углов в треугольнике всегда $180^\circ$. Значит, третий угол равен $180^\circ - 107^\circ - 23^\circ = 50^\circ$. **Правильный ответ: В** 4) Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. А ещё у него два угла при основании тоже равны. Смотрим на рисунки: 1) Углы при основании равны, значит, треугольник равнобедренный. 2) Один угол $90^\circ$, другой $45^\circ$, значит, третий тоже $45^\circ$. Есть два равных угла, значит, треугольник равнобедренный. 3) Нет равных углов, значит, не равнобедренный. 4) Нет равных углов, значит, не равнобедренный. **Ответ: 1 и 2** 5) Давай найдём периметр треугольника $BDC$. Периметр – это сумма длин всех сторон. Нам известна длина $BD = 4$ м и нужно найти длины сторон $DC$ и $BC$. **Допущение:** Треугольник $ABC$ равнобедренный, значит, $AB = BC$. Так как $BD$ - высота, то треугольник $BDC$ - прямоугольный. Угол $C$ равен $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике против угла в $30^\circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $BD = \frac{1}{2} BC$. Отсюда находим $BC = 2 \imes BD = 2 \cdot 4 = 8$ м. Теперь найдём $DC$. Можно воспользоваться теоремой Пифагора: $BC^2 = BD^2 + DC^2$. Тогда $DC^2 = BC^2 - BD^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$. Значит, $DC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ м. Периметр треугольника $BDC$ равен $P = BD + DC + BC = 4 + 4\sqrt{3} + 8 = 12 + 4\sqrt{3} \approx 18.93$ м. Среди предложенных вариантов ответа нет подходящего. **Ответ: невозможно вычислить.** 6) **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно условие, что точка K лежит между отрезками AD и BC. Отрезки $AB$ и $CD$ параллельны и равны, значит, $ABCD$ - параллелограмм. $AD$ и $BC$ - диагонали параллелограмма, а они в точке пересечения делятся пополам. Значит, точка $K$ - середина отрезка $BC$. 7) Давай найдём угол $BKM$. **Допущение:** Луч MK - биссектриса угла BMP. Значит, угол $BMK$ равен углу $PMK$. Угол $B M P$ является смежным к углу $C M P$, а значит, $\angle BMP = 180^\circ - \angle CMP = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Так как $M K$ - биссектриса угла $B M P$, то $\angle BMK = \frac{1}{2} \angle BMP = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ$. **Ответ: 55°**