Докажи, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если AB параллельно CD, а угол A равен углу С

Конечно, давай докажем! Раз у нас $AB$ параллельна $CD$, а $\angle A = \angle C$, то можно рассмотреть углы, которые образуются при пересечении этих параллельных прямых секущими. 1. $\angle A$ и $\angle D$ — внутренние односторонние углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$. Значит, их сумма равна $180^\circ$: $$\angle A + \angle D = 180^\circ.$$ 2. Точно так же, $\angle C$ и $\angle B$ — внутренние односторонние углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BC$. Поэтому: $$\angle C + \angle B = 180^\circ.$$ 3. Так как $\angle A = \angle C$, то мы можем заменить $\angle A$ на $\angle C$ в первом уравнении: $$\angle C + \angle D = 180^\circ.$$ 4. Теперь у нас есть два уравнения:$$\begin{aligned} &\angle C + \angle B = 180^\circ \\ &\angle C + \angle D = 180^\circ \end{aligned}$$ Из этих уравнений следует, что $\angle B = \angle D$. 5. Итак, в четырёхугольнике $ABCD$ у нас $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Это означает, что противоположные углы равны. А еще у нас $AB \parallel CD$. 6. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. Но у нас пока только одна пара параллельных сторон. Чтобы доказать, что это параллелограмм, нужно показать, что вторая пара сторон тоже параллельна. 7. Сумма углов в любом четырёхугольнике равна $360^\circ$. Значит, в нашем случае:$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ.$$ Так как $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$, то можно переписать это так:$$2 \cdot \angle A + 2 \cdot \angle B = 360^\circ.$$ Разделим обе части уравнения на 2:$$\angle A + \angle B = 180^\circ.$$ 8. $\angle A$ и $\angle B$ — внутренние односторонние углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Если их сумма равна $180^\circ$, то прямые $AD$ и $BC$ параллельны! Получается, что $AD \parallel BC$. 9. Итак, у нас есть две пары параллельных сторон: $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$. Это означает, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. **Вывод:** Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.