Ты просишь найти множество значений функции y = (x² - 4x + 4) / (x² + 5)

Привет! Давай разберемся с этой задачкой. Тебе нужно найти, какие значения может принимать функция $y = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 5}$. Сначала упростим выражение. Заметим, что $x^2 - 4x + 4$ это полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x - 2)^2}{x^2 + 5}$. Теперь давай подумаем, какие значения может принимать эта функция. $(x - 2)^2$ всегда больше или равно нулю, так как это квадрат. Значит, числитель всегда неотрицательный. Знаменатель $x^2 + 5$ всегда положительный, потому что $x^2$ всегда больше или равно нулю, и мы прибавляем 5. Таким образом, $y$ всегда больше или равно нулю. Нужно найти максимальное значение $y$. Для этого исследуем функцию на экстремумы, то есть найдем её производную и приравняем к нулю. Производная функции $y$ равна: $$y' = \frac{2(x - 2)(x^2 + 5) - (x - 2)^2 Imes 2x}{(x^2 + 5)^2}$$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$2(x - 2)(x^2 + 5) - (x - 2)^2 Imes 2x = 0$$ Упростим: $$2(x - 2) [ (x^2 + 5) - (x - 2)x ] = 0$$ $$2(x - 2) [ x^2 + 5 - x^2 + 2x ] = 0$$ $$2(x - 2) (2x + 5) = 0$$ Отсюда находим два значения $x$: $x = 2$ и $x = -\frac{5}{2}$. Теперь найдем значения функции $y$ в этих точках: - При $x = 2$: $y = \frac{(2 - 2)^2}{2^2 + 5} = \frac{0}{9} = 0$ - При $x = -\frac{5}{2}$: $y = \frac{(-\frac{5}{2} - 2)^2}{(-\frac{5}{2})^2 + 5} = \frac{(-\frac{9}{2})^2}{\frac{25}{4} + 5} = \frac{\frac{81}{4}}{\frac{45}{4}} = \frac{81}{45} = \frac{9}{5}$ Теперь нам нужно проверить, что происходит с функцией при больших значениях $x$. Если $x$ стремится к бесконечности, то $y$ стремится к 1. Таким образом, функция принимает значения от 0 до $\frac{9}{5}$. **Ответ: $y \in [0; \frac{9}{5}]$**