Реши примеры на дроби и степени из заданий 1-6

Задание 1. 1) Давай сначала разберёмся со скобками. В первой скобке у нас $\frac{3}{4} - \frac{9}{10}$. Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 10 будет 20. Значит, первую дробь умножаем на 5, а вторую на 2: $$\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{15}{20} - \frac{18}{20} = -\frac{3}{20}$$ Теперь вторая скобка: $\frac{3}{2} - 9$. Тут 9 можно представить как дробь $\frac{9}{1}$. Приводим к общему знаменателю 2: $$\frac{3}{2} - \frac{9 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} - \frac{18}{2} = -\frac{15}{2}$$ Теперь делим первую скобку на вторую: $$-\frac{3}{20} : \left(-\frac{15}{2}\right) = \frac{3}{20} \cdot \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 2}{20 \cdot 15} = \frac{6}{300}$$ Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: $$\frac{6}{300} = \frac{1}{50}$$ 2) Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{4}{10} - 12$. Представим 12 как дробь $\frac{12}{1}$ и приведём к общему знаменателю 10: $$\frac{4}{10} - \frac{12 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{4}{10} - \frac{120}{10} = -\frac{116}{10}$$ Теперь возводим в квадрат: $$\left(-\frac{116}{10}\right)^2 = \frac{116^2}{10^2} = \frac{13456}{100} = 134,56$$ 3) Сначала сложим дроби в скобках: $\frac{7}{4} + \frac{1}{18}$. Приведём к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 18 – это 36. Значит, первую дробь умножаем на 9, а вторую на 2: $$\frac{7 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{63}{36} + \frac{2}{36} = \frac{65}{36}$$ Теперь возводим в квадрат: $$\left(\frac{65}{36}\right)^2 = \frac{65^2}{36^2} = \frac{4225}{1296}$$ 4) Сначала упростим выражение в скобках: $\frac{11}{4} - 22$. Представим 22 как дробь $\frac{22}{1}$ и приведём к общему знаменателю 4: $$\frac{11}{4} - \frac{22 \cdot 4}{1 \cdot 4} = \frac{11}{4} - \frac{88}{4} = -\frac{77}{4}$$ Теперь возводим в квадрат: $$\left(-\frac{77}{4}\right)^2 = \frac{77^2}{4^2} = \frac{5929}{16}$$ Задание 2. 1) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{20} - \frac{1}{12}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 12 – это 60. Значит, первую дробь умножаем на 3, а вторую на 5: $$\frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{3}{60} - \frac{5}{60} = -\frac{2}{60}$$ Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$-\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}$$ 2) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{12} - \frac{1}{21}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 21 – это 84. Значит, первую дробь умножаем на 7, а вторую на 4: $$\frac{1 \cdot 7}{12 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{7}{84} - \frac{4}{84} = \frac{3}{84}$$ Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $$\frac{3}{84} = \frac{1}{28}$$ 3) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{18} - \frac{1}{45}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 45 – это 90. Значит, первую дробь умножаем на 5, а вторую на 2: $$\frac{1 \cdot 5}{18 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{5}{90} - \frac{2}{90} = \frac{3}{90}$$ Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $$\frac{3}{90} = \frac{1}{30}$$ 4) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{72} - \frac{1}{88}$, нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 72 и 88 – это 792. Значит, первую дробь умножаем на 11, а вторую на 9: $$\frac{1 \cdot 11}{72 \cdot 11} - \frac{1 \cdot 9}{88 \cdot 9} = \frac{11}{792} - \frac{9}{792} = \frac{2}{792}$$ Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$\frac{2}{792} = \frac{1}{396}$$ Задание 3. 1) Сначала умножаем 1,9 на -3,5: $$1,9 \cdot (-3,5) = -6,65$$ Теперь умножаем результат на 7,2: $$-6,65 \cdot 7,2 = -47,88$$ 2) Сначала умножаем -9,2 на -0,4: $$-9,2 \cdot (-0,4) = 3,68$$ Теперь умножаем результат на 6,5: $$3,68 \cdot 6,5 = 23,92$$ 3) Сначала складываем 5,1 и 2,8: $$5,1 + 2,8 = 7,9$$ Теперь умножаем результат на -2,5: $$7,9 \cdot (-2,5) = -19,75$$ 4) Сначала складываем -3,6 и 7,2: $$-3,6 + 7,2 = 3,6$$ Теперь умножаем результат на -1,5: $$3,6 \cdot (-1,5) = -5,4$$ Задание 4. 1) Сначала умножаем 3 на 5: $$3 \cdot 5 = 15$$ Теперь делим 16 на 15: $$\frac{16}{15} \approx 1,067$$ Теперь складываем результат с 3,8: $$1,067 + 3,8 = 4,867$$ 2) Сначала умножаем 7 на 10: $$7 \cdot 10 = 70$$ Теперь делим 18 на 70: $$\frac{18}{70} \approx 0,257$$ Теперь вычитаем результат из 2,4: $$2,4 - 0,257 = 2,143$$ 3) Сначала умножаем 14 на 35: $$14 \cdot 35 = 490$$ Теперь делим 23 на 46: $$\frac{23}{46} = 0,5$$ Теперь складываем результаты: $$490 + 0,5 = 490,5$$ Теперь прибавляем 2,9: $$490,5 + 2,9 = 493,4$$ 4) Сначала умножаем 15 на 3: $$15 \cdot 3 = 45$$ Теперь делим 58 на 29: $$\frac{58}{29} = 2$$ Теперь вычитаем результаты: $$45 - 2 = 43$$ Теперь вычитаем 5,63: $$43 - 5,63 = 37,37$$ Задание 5. 1) Чтобы найти значение выражения $5 \frac{1}{11} + 3 \frac{5}{11}$, сначала сложим целые части: $5 + 3 = 8$. Теперь сложим дробные части: $\frac{1}{11} + \frac{5}{11} = \frac{6}{11}$. Итак, $8 \frac{6}{11} = \frac{8 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{88 + 6}{11} = \frac{94}{11}$. 2) Чтобы найти значение выражения $13 \frac{3}{5} - 7 \frac{1}{5}$, сначала вычтем целые части: $13 - 7 = 6$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$. Итак, $6 \frac{2}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{30 + 2}{5} = \frac{32}{5}$. 3) Чтобы найти значение выражения $7 \frac{5}{7} + 2 \frac{3}{21}$, сначала сложим целые части: $7 + 2 = 9$. Теперь приведём дробь $\frac{3}{21}$ к несократимому виду: $\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$. Сложим дробные части: $\frac{5}{7} + \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$. Итак, $9 \frac{6}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{63 + 6}{7} = \frac{69}{7}$. 4) Чтобы найти значение выражения $2 \frac{1}{3} + 5 \frac{7}{11}$, сначала сложим целые части: $2 + 5 = 7$. Теперь сложим дробные части: $\frac{1}{3} + \frac{7}{11} = \frac{11}{33} + \frac{21}{33} = \frac{32}{33}$. Итак, $7 \frac{32}{33} = \frac{7 \cdot 33 + 32}{33} = \frac{231 + 32}{33} = \frac{263}{33}$. 5) Чтобы найти значение выражения $3 \frac{3}{7} + 7 \frac{6}{20}$, сначала сложим целые части: $3 + 7 = 10$. Теперь приведём дробь $\frac{6}{20}$ к несократимому виду: $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. Сложим дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{3}{10} = \frac{30}{70} + \frac{21}{70} = \frac{51}{70}$. Итак, $10 \frac{51}{70} = \frac{10 \cdot 70 + 51}{70} = \frac{700 + 51}{70} = \frac{751}{70}$. 6) Чтобы найти значение выражения $45 \frac{2}{9} + 35 \frac{3}{5}$, сначала сложим целые части: $45 + 35 = 80$. Теперь сложим дробные части: $\frac{2}{9} + \frac{3}{5} = \frac{10}{45} + \frac{27}{45} = \frac{37}{45}$. Итак, $80 \frac{37}{45} = \frac{80 \cdot 45 + 37}{45} = \frac{3600 + 37}{45} = \frac{3637}{45}$. 7) Чтобы найти значение выражения $3 \frac{1}{2} - 2 \frac{12}{4}$, сначала приведём дробь $\frac{12}{4}$ к несократимому виду: $\frac{12}{4} = 3$. Значит выражение имеет вид $3 \frac{1}{2} - 2 \cdot 3 = 3 \frac{1}{2} - 6$. Теперь $3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$, значит $\frac{7}{2} - 6 = \frac{7}{2} - \frac{12}{2} = -\frac{5}{2}$. 8) Чтобы найти значение выражения $5 \frac{1}{5} - 4 \frac{2}{5}$, сначала вычтем целые части: $5 - 4 = 1$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{1}{5}$. Итак, $1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$. 9) Чтобы найти значение выражения $7 \frac{1}{18} - 6 \frac{13}{14}$, сначала вычтем целые части: $7 - 6 = 1$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{1}{18} - \frac{13}{14} = \frac{7}{126} - \frac{117}{126} = -\frac{110}{126} = -\frac{55}{63}$. Итак, $1 - \frac{55}{63} = \frac{63}{63} - \frac{55}{63} = \frac{8}{63}$. 10) Чтобы найти значение выражения $9 \frac{2}{15} - 8 \frac{32}{33}$, сначала вычтем целые части: $9 - 8 = 1$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{2}{15} - \frac{32}{33} = \frac{22}{165} - \frac{160}{165} = -\frac{138}{165} = -\frac{46}{55}$. Итак, $1 - \frac{46}{55} = \frac{55}{55} - \frac{46}{55} = \frac{9}{55}$. 11) Чтобы найти значение выражения $2 \frac{3}{28} - 1 \frac{17}{36}$, сначала вычтем целые части: $2 - 1 = 1$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{3}{28} - \frac{17}{36} = \frac{27}{252} - \frac{119}{252} = -\frac{92}{252} = -\frac{23}{63}$. Итак, $1 - \frac{23}{63} = \frac{63}{63} - \frac{23}{63} = \frac{40}{63}$. 12) Чтобы найти значение выражения $6 \frac{2}{5} - 5 \frac{31}{33}$, сначала вычтем целые части: $6 - 5 = 1$. Теперь вычтем дробные части: $\frac{2}{5} - \frac{31}{33} = \frac{66}{165} - \frac{155}{165} = -\frac{89}{165}$. Итак, $1 - \frac{89}{165} = \frac{165}{165} - \frac{89}{165} = \frac{76}{165}$. Задание 6. 1) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $1 \frac{9}{48} = \frac{57}{48}$, $5 \frac{5}{21} = \frac{110}{21}$. Теперь умножим их: $\frac{57}{48} \cdot \frac{110}{21} = \frac{6270}{1008}$. Сократим: $\frac{6270}{1008} = \frac{1045}{168}$. 2) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $1 \frac{13}{9} = \frac{22}{9}$, $7 \frac{2}{4} = \frac{30}{4}$. Теперь умножим их: $\frac{22}{9} \cdot \frac{30}{4} = \frac{660}{36}$. Сократим: $\frac{660}{36} = \frac{55}{3}$. 3) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $15 \frac{17}{15} = \frac{242}{15}$, $4 \frac{27}{38} = \frac{179}{38}$. Теперь умножим их: $\frac{242}{15} \cdot \frac{179}{38} = \frac{43318}{570}$. Сократим: $\frac{43318}{570} = \frac{21659}{285}$. 4) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $6 \frac{24}{1} = \frac{30}{1}$, $4 \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$. Теперь умножим их: $\frac{30}{1} \cdot \frac{17}{4} = \frac{510}{4}$. Сократим: $\frac{510}{4} = \frac{255}{2}$. 5) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $12 \frac{2}{14} = \frac{170}{14}$, $26 \frac{1}{4} = \frac{105}{4}$. Теперь умножим их: $\frac{170}{14} \cdot \frac{105}{4} = \frac{17850}{56}$. Сократим: $\frac{17850}{56} = \frac{8925}{28}$. 6) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $14 \frac{7}{14} = \frac{203}{14}$, $35 \frac{9}{15} = \frac{534}{15}$. Теперь умножим их: $\frac{203}{14} \cdot \frac{534}{15} = \frac{108402}{210}$. Сократим: $\frac{108402}{210} = \frac{18067}{35}$. 7) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $4 \frac{25}{3} = \frac{37}{3}$, $6 \frac{3}{1} = \frac{9}{1}$. Теперь умножим их: $\frac{37}{3} \cdot \frac{9}{1} = \frac{333}{3}$. Сократим: $\frac{333}{3} = \frac{111}{1}$. 8) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $23 \frac{9}{2} = \frac{55}{2}$, $3 \frac{3}{1} = \frac{6}{1}$. Теперь умножим их: $\frac{55}{2} \cdot \frac{6}{1} = \frac{330}{2}$. Сократим: $\frac{330}{2} = \frac{165}{1}$. 9) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $239 \frac{2}{3} = \frac{719}{3}$, $25 \frac{4}{5} = \frac{129}{5}$. Теперь умножим их: $\frac{719}{3} \cdot \frac{129}{5} = \frac{92751}{15}$. Сократим: $\frac{92751}{15} = \frac{30917}{5}$. 10) Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $240 \frac{7}{28} = \frac{6727}{28}$, $28 \frac{45}{39} = \frac{1137}{39}$. Теперь умножим их: $\frac{6727}{28} \cdot \frac{1137}{39} = \frac{7648659}{1092}$. Сократим: $\frac{7648659}{1092} = \frac{2549553}{364}$.