Докажи, что если m и n — целые числа, отличные от 0, 1, -1, то m⁴ + 4n⁴ — составное число

a) Чтобы доказать, что $m^4 + 4n^4$ — составное число, можно использовать тождество Софи Жермен: $$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$$. В нашем случае, $a = m$ и $b = n$. Тогда: $$m^4 + 4n^4 = (m^2 + 2n^2 + 2mn)(m^2 + 2n^2 - 2mn)$$. Если $m$ и $n$ — целые числа, отличные от $0, 1, -1$, то оба множителя в правой части будут больше $1$. Это означает, что $m^4 + 4n^4$ можно разложить на два множителя, каждый из которых больше $1$, следовательно, это составное число. б) Рассмотрим выражение $n^4 + 324$. Заметим, что $324 = 4 \cdot 81 = 4 \cdot 3^4$. Тогда наше выражение можно переписать как $n^4 + 4 \cdot 3^4$. Теперь воспользуемся тождеством Софи Жермен, где $a = n$ и $b = 3$: $$n^4 + 4 \cdot 3^4 = (n^2 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot n \cdot 3)(n^2 + 2 \cdot 3^2 - 2 \cdot n \cdot 3) = (n^2 + 18 + 6n)(n^2 + 18 - 6n) = ((n+3)^2 + 9)((n-3)^2 + 9)$$. Для любого целого $n$, $(n+3)^2 + 9 > 1$ и $(n-3)^2 + 9 > 1$. Значит, $n^4 + 324$ можно разложить на два множителя, каждый из которых больше $1$, что означает, что это составное число.