С какой по модулю скоростью должен двигаться пассажирский поезд, чтобы догнать товарный поезд на станции В, если товарный поезд отправился от станции А по направлению к станции В со скоростью 30 км/ч, через 0,5 ч от станции в том же направлении вышел пассажирский поезд, а расстояние между станциями составляет 45 км?

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Сначала определим, сколько времени товарный поезд был в пути до выхода пассажирского поезда: $$t_1 = 0.5 \,\text{ч}$$ За это время товарный поезд проехал расстояние: $$S_1 = v_\text{товарный} \cdot t_1 = 30 \,\text{км/ч} \cdot 0.5 \,\text{ч} = 15 \,\text{км}$$ Теперь товарному поезду осталось проехать до станции B: $$S_2 = S - S_1 = 45 \,\text{км} - 15 \,\text{км} = 30 \,\text{км}$$ Пусть пассажирский поезд догонит товарный через время $t_2$. За это время товарный поезд проедет расстояние $v_\text{товарный} \cdot t_2$, а пассажирский поезд — расстояние $v_\text{пассажирский} \cdot t_2$. Чтобы пассажирский поезд догнал товарный, они должны одновременно прибыть на станцию B. Значит: $$v_\text{пассажирский} \cdot t_2 = S_2 = 30 \,\text{км}$$ $$v_\text{товарный} \cdot t_2 = S_2 = 30 \,\text{км}$$ Время $t_2$ у них одинаковое, поэтому: $$t_2 = \frac{S_2}{v_\text{товарный}} = \frac{30 \,\text{км}}{30 \,\text{км/ч}} = 1 \,\text{ч}$$ Теперь можно найти скорость пассажирского поезда: $$v_\text{пассажирский} = \frac{S_2}{t_2} = \frac{30 \,\text{км}}{1 \,\text{ч}} = 30 \,\text{км/ч}$$ Но это ещё не всё! Нам нужно, чтобы пассажирский поезд догнал товарный именно на станции B. Это значит, что пассажирский поезд должен двигаться быстрее товарного. Давай подумаем, на сколько быстрее? Если бы пассажирский поезд ехал с той же скоростью, что и товарный, они бы никогда не встретились на станции B. Значит, пассажирский поезд должен покрыть расстояние $S_1$ (которое товарный уже проехал) за время $t_2$. Дополнительная скорость, необходимая пассажирскому поезду: $$v_\text{доп} = \frac{S_1}{t_2} = \frac{15 \,\text{км}}{1 \,\text{ч}} = 15 \,\text{км/ч}$$ Тогда общая скорость пассажирского поезда: $$v_\text{пассажирский} = v_\text{товарный} + v_\text{доп} = 30 \,\text{км/ч} + 15 \,\text{км/ч} = 45 \,\text{км/ч}$$ **Ответ: 45 км/ч**